Studio della surriettività di una funzione.

[ihategoto]

Salve,
ho un dubbio inerente ad un esercizio presente su uno degli esoneri del mio corso degli anni scorsi.

Data la funzione:

$ f(x)=sqrt(e^x-3)/(7-x) $

stabilire per quali valori $ alpha in R $ $ f(x)=alpha $ ammette almeno una soluzione reale.

Ovviamente questo è solo un estratto dell'esercizio originale, tuttavia gli altri quesiti non avevano nulla di particolarmente difficile. Premetto che per affrontare questo esercizio non è ammesso l'utilizzo delle derivate.
Ora, per $ alpha>=0 $ la soluzione è abbastanza ovvia:

Il dominio della funzione è:
$ dom(f)=[log(3), 7) uu (7, +oo) $

risulta in particolare che la funzione sia continua e crescente nell'intervallo $ [log(3), 7) $.

Inoltre:
$ f(log(3))=0 $
$ lim_(x -> 7^-) f(x)=+oo $

Allora risulta che nell'intervallo $ [log(3), 7) $:

\( \inf (f)=0 \)
\( \sup(f)=+\infty \)

Quindi per il teorema dei valori intermedi posso dire che la funzione nel suddetto intervallo assume tutti i valori di $ R_+ $.
Ora viene la parte un po' più complicata: considero i valori $ alpha < 0 $.
So che:

$ lim_(x -> 7^+)f(x)=-oo $

Inoltre:

$ lim_(x -> +oo )f(x)=-oo $

Dunque, senza l'utilizzo delle derivate, come posso rispondere a questo quesito?

Grazie in anticipo delle vostre risposte.

[pilloeffe]

Ciao ihategoto,

Benvenuto sul forum!

Dunque, senza l'utilizzo delle derivate, come posso rispondere a questo quesito?

Facendo un disegno di massima del grafico della funzione proposta $f(x)=sqrt(e^x-3)/(7-x)$. In $x = 7 $ ha un asintoto verticale e a destra di tale asintoto la funzione non interseca l'asse delle $x$ ed è $f(x) < 0 $. Si tratta di vedere quando e se la retta orizzontale $y = \alpha $ interseca il grafico della funzione proposta, cioè di discutere al variare di $\alpha $ il sistema seguente:

$\{(y = \sqrt(e^x-3)/(7-x)),(y = \alpha):}$

La situazione è la seguente:
1) Due soluzioni reali e distinte per $\alpha < y_M $ ove $y_M $ è l'ordinata negativa del punto di massimo $M(x_M, y_M)$;
2) Due soluzioni reali e coincidenti per $\alpha = y_M < 0 $;
3) Nessuna soluzione per $\y_M < \alpha < 0 $;
4) Una soluzione per $\alpha >= 0 $.

Peraltro ti faccio notare che se anche potessi usare le derivate avresti comunque difficoltà a determinare le coordinate del punto di massimo $M$ perché dovresti risolvere una disequazione trascendente. Se proprio sei interessato ad un valore per $y_M $ potresti provare con una soluzione numerica e dato che certamente $x_M > 7 $ potresti provare partendo dal valore iniziale $x_0 = 9 $.

[ihategoto]

Ciao,e grazie per la risposta.
In realtà mi ero orientato anche io verso una soluzione pressoché simile alla tua; innanzitutto perché dopo diverse ore passate a fissare il problema, mi sono reso conto di non avere alcuna possibilità di risolverlo con i teoremi/metodi a mia disposizione, ed inoltre perché dando in pasto la funzione ad un qualsiasi software che determina il codominio, mi sono reso conto che il massimo locale non sia così facile da determinare.
Ad ogni modo, se avessi avuto a disposizione le derivate sarei riuscito ad impostare la soluzione, anche perché questo esercizio era presente nel primo esonero del mio corso dello scorso anno.

[dissonance]

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Odi GOTO, il comando BASIC?

[ihategoto]

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Odi GOTO, il comando BASIC?

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Odio il comando goto di qualsiasi linguaggio di programmazione. Avendo lavorato come programmatore so quanto possa essere dannoso l'utilizzo di tale costrutto soprattutto per la leggibilità del codice. E dall'altra parte non capisco che si ostina ad utilizzarlo appellandosi alla difficoltà dell'algoritmo, dato che è stato dimostrato che qualsiasi algoritmo può essere risolto senza l'utilizzo del salto incondizionato. In definitiva anche in informatica ci sono individui paragonabili ai quadratori della circonferenza.