Salve, sto facendo una ricerca e mi sono trovato a ri-studiare la teoria dei prezzi di produzione.
Se in una economia formata da due produzioni viene determinato un soprappiù siamo difronte a due equazioni con due incognite, il salario $w$ e il prezzo relativo.
Sia quindi $x$ il prezzo del primo bene e $y$ quello del secondo.
Ad esempio:
\( \displaystyle \begin{cases}
30x + 0,5y + 2w = 50x \\
10x + 0y + 2w = 2,5y
\end{cases} \)
estraggo $w$ dalla seconda equazione
$w=(2,5y-10x)/2$
e per sostituzione ottengo il prezzo relativo:
$x/y=10$
e fin qui ok.
Se invece il sovrappiù venisse distribuito anche ai proprietari dei mezzi di produzione tramite un saggio di profitti $r$ avremo una sistema di due equazioni con tre incognite. A questo punto il testo a cui sto facendo riferimento, dopo aver spiegato il motivo per cui tra le tre incognite andrebbe definito il saggio di profitti, propone questo esempio:
\( \displaystyle \begin{cases}
(10x + 5y)(1+r) + 10w = 115x \\
(20x + 2y)(1+r) + 20w = 10y
\end{cases} \)
qui non riesco ad ottenere lo stesso risultato che mi evidenzia il testo.
Nel testo infatti trovo scritto che "se il saggio dei profitti fosse fissato al 10% ($r=0,10$), allora, misurando in termini di $x$ risulterebbe $y=5,3$ e $w=0,97$ mentre il valore della produzione totale dell'economia sarebbe pari a 103 in termini di $x$"
Non comprendo come dovrei procedere, sicuramente non come ho proceduto io:
\( \displaystyle \begin{cases}
(10x + 5y)(1,1) + 10w = 115x \\
(20x + 2y)(1,1) + 20w = 10y
\end{cases} \)
\( \displaystyle \begin{cases}
(11x + 5,5y) + 10w = 115x \\
(22x + 2,2y) + 20w = 10y
\end{cases} \)
divido le due equazioni per $x$ in modo da ottenere il prezzo relativo (scrivo $y$ e $w$ al posto di $y/x$ e $w/x$ per comodità):
\( \displaystyle \begin{cases}
11 + 5,5y + 10w = 115 \\
22 + 2,2y + 20w = 10y
\end{cases} \)
$w=(10y-2,2y-22)/20$
$11 + 5,5y + 10(10y-2,2y-22)/20 = 115$
$11 + 5,5y + 5y-1,1y-11 = 115$
$9,4y = 115$
$y=12,23$
$w=(7,8y-22)/20=3,67$
Come fa il testo a giungere all'altro risultato ?
Grazie in anticipo.