sistema di equazioni in teoria dei prezzi

Messaggioda algibro » 12/11/2019, 16:18

Salve, sto facendo una ricerca e mi sono trovato a ri-studiare la teoria dei prezzi di produzione.
Se in una economia formata da due produzioni viene determinato un soprappiù siamo difronte a due equazioni con due incognite, il salario $w$ e il prezzo relativo.
Sia quindi $x$ il prezzo del primo bene e $y$ quello del secondo.
Ad esempio:

\( \displaystyle \begin{cases}
30x + 0,5y + 2w = 50x \\
10x + 0y + 2w = 2,5y
\end{cases} \)

estraggo $w$ dalla seconda equazione
$w=(2,5y-10x)/2$
e per sostituzione ottengo il prezzo relativo:
$x/y=10$
e fin qui ok.

Se invece il sovrappiù venisse distribuito anche ai proprietari dei mezzi di produzione tramite un saggio di profitti $r$ avremo una sistema di due equazioni con tre incognite. A questo punto il testo a cui sto facendo riferimento, dopo aver spiegato il motivo per cui tra le tre incognite andrebbe definito il saggio di profitti, propone questo esempio:

\( \displaystyle \begin{cases}
(10x + 5y)(1+r) + 10w = 115x \\
(20x + 2y)(1+r) + 20w = 10y
\end{cases} \)

qui non riesco ad ottenere lo stesso risultato che mi evidenzia il testo.
Nel testo infatti trovo scritto che "se il saggio dei profitti fosse fissato al 10% ($r=0,10$), allora, misurando in termini di $x$ risulterebbe $y=5,3$ e $w=0,97$ mentre il valore della produzione totale dell'economia sarebbe pari a 103 in termini di $x$"

Non comprendo come dovrei procedere, sicuramente non come ho proceduto io:

\( \displaystyle \begin{cases}
(10x + 5y)(1,1) + 10w = 115x \\
(20x + 2y)(1,1) + 20w = 10y
\end{cases} \)

\( \displaystyle \begin{cases}
(11x + 5,5y) + 10w = 115x \\
(22x + 2,2y) + 20w = 10y
\end{cases} \)

divido le due equazioni per $x$ in modo da ottenere il prezzo relativo (scrivo $y$ e $w$ al posto di $y/x$ e $w/x$ per comodità):

\( \displaystyle \begin{cases}
11 + 5,5y + 10w = 115 \\
22 + 2,2y + 20w = 10y
\end{cases} \)

$w=(10y-2,2y-22)/20$

$11 + 5,5y + 10(10y-2,2y-22)/20 = 115$

$11 + 5,5y + 5y-1,1y-11 = 115$
$9,4y = 115$
$y=12,23$
$w=(7,8y-22)/20=3,67$

Come fa il testo a giungere all'altro risultato ?
Grazie in anticipo.
algibro
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Re: sistema di equazioni in teoria dei prezzi

Messaggioda algibro » 12/11/2019, 19:33

Come prima cosa la ringrazio per la esaustiva risposta.

Sergio ha scritto:Sarei proprio curioso di sapere su che testo stai studiando, perché quanto dici mi sa tanto di Sraffa e trovo maledettamente scomodo seguire le equazioni di Sraffa. Preferisco tradurle in forma matriciale.


Il testo è "Teoria dei prezzi" Chiodi G. Terza Edizione, dove vengono presentati il paradigma dei prezzi di produzione (con ovvi riferimenti a Sraffa e Neumann) e successivamente quello "marginalista" dei prezzi di mercato.

Sergio ha scritto:Spero di averti illustrato in modo sufficientemente chiaro come affrontare problemi di questo tipo, però, in realtà, trovare soluzioni per singoli sistemi serve a poco.
Il significato di quei sistemi è uno solo: mentre nella teoria economia neoclassica esistono "leggi" che determinano il salario e il profitto di equilibrio (intendendo il profitto come remunerazione del fattore capitale), secondo Sraffa non c'è alcuna legge, perché nel sistema c) hai necessariamente più incognite che equazioni e il sistema è indeterminato. Puoi giungere a una soluzione solo fissando arbitrariamente il salario, il profitto o i prezzi relativi.


Assolutamente chiaro.
Il problema è che se trovo una piccola incongruenza non riesco a procedere con la lettura. In questo caso non capivo proprio se mi fosse sfuggito qualcosa oppure, come sembra, sia semplicemente un errore nel testo.

Sergio ha scritto:Se poni x=10 e y=1 hai w=(2.5−100)/2<0. È invece x/y=1/10, ma penso sia solo una svista.

Si, ho invertito i prezzi, avrei dovuto scrivere $y=10x$.

Sergio ha scritto:Dal momento che sostituendo x1=0.27238, x2=3.33237 e w=1 nel sistema i conti tornano, direi che:
- o hai sbagliato a riportare il sistema, oppure è sbagliata la soluzione del libro;
- la tua soluzione va bene: se moltiplichi w,x1,x2 per 3.67 ottieni w=3.67,x1≈1,x2≈12.23 e i conti tornano lo stesso.


Bene.
Oddio male, perché ci ho perso diverso tempo nel tentativo di capire dove sbagliavo.

Allego anche la pagina del testo.

Grazie ancora, a presto.

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Re: sistema di equazioni in teoria dei prezzi

Messaggioda algibro » 12/11/2019, 21:41

:wink:
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