Ho trovato in biblioteca un libricino impolverato di L. Hörmander (in svedese) risalente agli anni '50. E' una raccolta di problemi che si davano agli studenti del primo anno (credo). Ne propongo uno.
Esercizio. Sia \( f :[0,1] \to \mathbb{R} \) ovunque continua e non-negativa. Dimostrare che \[ \lim_{x \to 0^{+}} x \int_x^1 \frac{f(t)}{t^2} \, dt = f(0). \]
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[Ex] - Un limite
da obnoxious » 12/11/2019, 23:39
Ultima modifica di obnoxious il 13/11/2019, 09:51, modificato 1 volta in totale.
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Re: [Ex] - Un limite
da alessio76 » 12/11/2019, 23:57
Leggi lo svedese 
?
E' "carino" perché la forma di indecisione viene dall'integrale improprio, dà un po' di "brio" a un esercizio tipico...
? E' "carino" perché la forma di indecisione viene dall'integrale improprio, dà un po' di "brio" a un esercizio tipico...
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Re: [Ex] - Un limite
da obnoxious » 13/11/2019, 09:19
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
alessio76 ha scritto:Leggi lo svedese
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Re: [Ex] - Un limite
da Bremen000 » 13/11/2019, 09:22
Bellino! Forse oggi questo è un po' facile per il primo anno? Non so...
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Re: [Ex] - Un limite
da obnoxious » 13/11/2019, 09:32
Bremen000 ha scritto:Bellino! Forse oggi questo è un po' facile per il primo anno? Non so...
Con l'ulteriore restrizione \( f(0) > 0 \) l'esercizio diventa da scuola superiore (sono sicuro di averne trovato uno simile in un compito, si risolve "brutalmente" con de l'Hôpital). Sicuramente in una universita' italiana sarebbe considerato di livello abbastanza facile. Sulla Svezia ho qualche dubbio ulteriore, non sono sicuro che uno studente medio del primo anno sia in grado di risolverlo.
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Re: [Ex] - Un limite
da gugo82 » 13/11/2019, 09:37
obnoxious ha scritto:Bremen000 ha scritto:Bellino! Forse oggi questo è un po' facile per il primo anno? Non so...
Con l'ulteriore restrizione \( f(0) > 0 \) l'esercizio diventa da scuola superiore (sono sicuro di averne trovato uno simile in un compito, si risolve "brutalmente" con de l'Hôpital).
A che serve $f(0) > 0$?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: [Ex] - Un limite
da obnoxious » 13/11/2019, 09:42
gugo82 ha scritto:[...] A che serve $f(0) > 0$?
A far "certamente" esplodere l'integrale a \(0\). Se \( f(0) = 0\) non e' chiaro se \( \lim_{x \to 0^+} \int_x ^1 f(t)/t^2 \, dt = \infty \).
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Re: [Ex] - Un limite
da Bremen000 » 13/11/2019, 09:46
Ma in questo caso non è $f(0) >0$? Hai detto "$f$ continua e ovunque positiva".
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Re: [Ex] - Un limite
da obnoxious » 13/11/2019, 09:51
Bremen000 ha scritto:Ma in questo caso non è $f(0) >0$? Hai detto "$f$ continua e ovunque positiva".
Intendevo non-negativa, lost in translation. Vado a modificare.
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Re: [Ex] - Un limite
da Bremen000 » 13/11/2019, 09:54
Ah, ok. Ora non se è più così facile 
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