1) si determinino tutti i gruppi di ordine $33$
2) dimostrare che se $abs(G)=65$ allora ammette un sottogruppo normale non banale
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nel primo esercizio che ho svolto sento la presenza di un errore
1)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
essendo $33=11*3$ si avranno almeno un $11-$Sylow e un $3-$Sylow
se $n_p$ è il numero di $p-$Sylow distinti deve essere $n_3|11$ e $n_3equiv1(mod3)$ e quindi l'unica possibilità è che sia $n_3=1$. Allo stesso modo $n_11=1$ ma allora avremo soltanto un $3-$sylow e un $11-$sylow e questo implica che sono normali(perchè i coniugati sono anche $p-$sylow) e in particolare sono ciclici.
Pongo $P_3,P_11$ tali sottogruppi
un qualsiasi sottogruppo di $P_3capP_11$ deve dividere sia $3$ che $11$ pertanto l'intersezione è banale. Siano ora $p,q$ generatori rispettivamente di $P_3,P_11$ allora $G=<<pq>>$
intanto $(pq)^33=(p^3)^11*(q^11)^3=1*1=1$
$(pq)^x=1 =>$ divido $x$ per $33$ ottenendo $x=33k+r$
$1=(pq)^x=(pq)^(33k+r)=(pq)^r$ ovvero $p^r=q^(-r) => p^r,q^r in P_3 capP_11 => q^r=p^r=1$ da cui deve essere
edit: questo in rosso è un errore(o comunque ambiguo)
$3|r$ e $11|r$ pertanto $33|r$ il che è assurdo
piuttosto è $r=3k, r=11h => 11h=3k => h=3n,k=11n => r=33n<33$ solo se $n=0$
quindi $G=<<pq>>$ poiché sottogruppo dello stesso ordine
ora ogni elemento di $G$ si scrive come prodotto di elementi di $P_3,P_11$ quindi per un noto teorema deve essere $G cong P_3 timesP_11 cong ZZ_3 times ZZ_11$ oppure $Gcong ZZ_33$
se $n_p$ è il numero di $p-$Sylow distinti deve essere $n_3|11$ e $n_3equiv1(mod3)$ e quindi l'unica possibilità è che sia $n_3=1$. Allo stesso modo $n_11=1$ ma allora avremo soltanto un $3-$sylow e un $11-$sylow e questo implica che sono normali(perchè i coniugati sono anche $p-$sylow) e in particolare sono ciclici.
Pongo $P_3,P_11$ tali sottogruppi
un qualsiasi sottogruppo di $P_3capP_11$ deve dividere sia $3$ che $11$ pertanto l'intersezione è banale. Siano ora $p,q$ generatori rispettivamente di $P_3,P_11$ allora $G=<<pq>>$
intanto $(pq)^33=(p^3)^11*(q^11)^3=1*1=1$
$(pq)^x=1 =>$ divido $x$ per $33$ ottenendo $x=33k+r$
$1=(pq)^x=(pq)^(33k+r)=(pq)^r$ ovvero $p^r=q^(-r) => p^r,q^r in P_3 capP_11 => q^r=p^r=1$ da cui deve essere
edit: questo in rosso è un errore(o comunque ambiguo)
$3|r$ e $11|r$ pertanto $33|r$ il che è assurdo
piuttosto è $r=3k, r=11h => 11h=3k => h=3n,k=11n => r=33n<33$ solo se $n=0$
quindi $G=<<pq>>$ poiché sottogruppo dello stesso ordine
ora ogni elemento di $G$ si scrive come prodotto di elementi di $P_3,P_11$ quindi per un noto teorema deve essere $G cong P_3 timesP_11 cong ZZ_3 times ZZ_11$ oppure $Gcong ZZ_33$
2)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
similmente a sopra dovrebbe essere $GcongZZ_5timesZZ_13$ o $Gcong ZZ_65$
contiene un solo $5-$sylow e un solo $13-sylow$
contiene un solo $5-$sylow e un solo $13-sylow$