Equazione di terzo grado

[phiquadro]

Buongiorno,
sono alle prese con la seguente equazione, apparentemente banale:
$ (x+1)/x=x^2/(x+1) $

Scartiamo i valori $ x=0 $ e $ x=-1 $ (condizioni di esistenza)

Ho provato a scrivere l'espressione di cui sopra come:
$ (x+1)^2=x^3 $

quindi ho sviluppato l'espressione ottenendo:
$ x^3-x^2-2x-1=0 $

Ad "occhio" non vedo alcuna scomposizione quindi ho tentato Ruffini ma é facile verificare che i possibili zeri (1 e -1) non annullano il polinomio di cui sopra.
Idee?
Vi ringrazio in anticipo dei suggerimenti.

[@melia]

Che classe fai? Vediamo di utilizzare le proprietà che ti sono più "vicine".

[phiquadro]

Esercizio di quarta superiore

[@melia]

Quarta superiore non mi dice niente, perché il programma di analisi matematica si sviluppa in modo diverso (4° o 5°) a seconda della scuola. Allora provo così: conosci i limiti? Sai tracciare il grafico di una funzione? Sai tracciare il grafico di una cubica? E quello di una parabola?

[@melia]

La via più breve sarebbe quella di rappresentare graficamente due curve.

Da $ x^3-x^2-2x-1=0 $, meglio se scritto $ x^3= x^2+2x+1 $ ottieni due curve
$y=x^3$ e $y=x^2+2x+1$, le rappresenti graficamente per capire se hanno intersezioni.
Dal grafico si evince che si intersecano una sola volta, questo significa che l'equazione associata ha una sola soluzione, molto vicina a 2 (si vede dal grafico che ho fatto con GeoGebra).

Allora adesso prendi la funzione $f(x)= x^3-x^2-2x-1$, se trovi 2 valori della $x$ in cui in uno la funzione è positiva e nell'altro è negativa, allora la soluzione cercata è nell'intervallo compreso tra i due valori della $x$.

$f(2)= -1$
$f(2,2)= +0,408$
questo significa che la soluzione cercata $x_0$ è compresa tra 2 e 2,2 cioè $2<x_0<2,2$

Se calcolo anche $f(2,1)= -0,349$ posso dire che la soluzione $x_0$ verifica $2,1 < x_0 < 2,2$

Poi ci sono anche delle tecniche di calcolo numerico per arrivare alla soluzione, anche più precisa di quella che ho trovato io, ma questa è la via più semplice.

[phiquadro]

Ciao Melia,
intanto grazie per la rapida risposta.
In effetti avevo anche io utilizzato il tuo metodo ma mi chiedevo... Se volessi ricavare tutte e tre le soluzioni (quindi anche le due complesse) come posso procedere?
Grazie mille!

[alessio76]

Se non ti disturba l'inglese guarda questo...
https://www.youtube.com/watch?v=N-KXStupwsc