Limite strano

[caffeinaplus]

Salve a tutti

Ho svolto questo limite di cui non ho risultato

$lim_(x->0^+) (pi/2 +tgx -atg(1/x))^(1/lnx)$

Che a me risulta essere $1$

Procedimento
$exp(1/lnx * ln(pi/2+tgxatg(1/x)) ) = exp(x/lnx * (pi/2+tgx+atg(1/x))/x * ln(pi/2+tgx-atg(1/x))/(pi/2+tgx-atg(1/x)))$

Quindi l'ultima forma indeterminata da risolvere è

$(pi/2+tgx-atg(1/x))/x=(sinx/x)*1/cosx +(pi/2-atg(1/x))/x$


ma se $pi/2 -atg(1/x) = s$ allora $(x=1/tan(pi/2-s))$

Quindi $(s*sin(pi/2-s)/cos(pi/2-s))=s/sin(s)*cos(s)=1$

Quindi in totale mi trovo che l'esponente $->0$ e quindi $e^f(x)->1$

---Fine procedimento---

Il fatto è che, inserendo quel limite su wolfram per confrontare il risultato mi trovo che:

Il limite vale $e$ da destra
Ma fatto che non sono riuscito a capire, vale $1$ da sinistra.
Il fatto è, come può essere calcolato il limite da sinistra se da sinistra la funzione non esiste?
Infatti troviamo all'esponente $1/lnx$ che non è definita per valori non positivi e per $1$.

Grazie a chi mi aiuterà a capire ( e a correggere il limite )

[spugna]

Non puoi semplificare $x/ln(x)$ in quel prodotto, perché tende a $0$. Io farei così...

Osserva innanzitutto che $pi/2-atg(1/x)=atg(x)$, quindi puoi riscrivere quell'espressione come

$(tg(x)+atg(x))^(1/ln(x))=exp(ln(tg(x)+atg(x))/ln(x))=exp((ln(x)+ln((tg (x))/x+(atg (x))/x))/ln(x))$

Ora, $ln((tg (x))/x+(atg (x))/x)$ è trascurabile rispetto a $ln(x)$ perché per i limiti notevoli tende a $ln(2)$, quindi la frazione tende a $1$ e il limite è $e$.

Se invece $x->0^-$ si ha $atg(1/x)->-pi/2$, e sostituendo nell'espressione trovi la forma determinata $[pi^(1/(-oo))]$, che dà $1$.

EDIT: il limite da sinistra ovviamente non può esistere per il motivo che hai scritto, ma viene 1 se usi il logaritmo complesso, cosa che wolfram effettivamente fa...!

[pilloeffe]

Ciao caffeinaplus,

Il tuo svolgimento non mi convince, ma neanche mi convince quello di WolframAlpha per $x \to 0^- $ perché come giustamente hai scritto non sarebbe definito l'esponente $1/(ln x) $. A parziale giustificazione del noto software c'è da segnalare che esso lavora in $\CC $ e comunque la soluzione $e $ per $x \to 0^+ $ è corretta.
Infatti, facendo uso della ben nota relazione $arctan x + arctan(1/x) = \pi/2 $ si ha:

$ \lim_{x \to 0^+} [\pi/2 + tan x - arctan(1/x)]^{1/lnx} = \lim_{x \to 0^+} (tan x + arctan x)^{1/lnx} = $ $ = \lim_{x \to 0^+} exp[ln(tan x + arctan x)/(ln x)] $

A questo punto non ci resta che dimostrare che $ \lim_{x \to 0^+} ln(tan x + arctan x)/(ln x) = 1 $, cosa che si riesce a fare agevolmente ad esempio con la regola del marchese de l'Hôpital:

$ \lim_{x \to 0^+} ln(tan x + arctan x)/(ln x) \stackrel [H]{=} \lim_{x \to 0^+} ((1/(1 + x^2) + 1/(cos^2 x))/(tan x + arctan x))/(1/x) = \lim_{x \to 0^+} (1/(1 + x^2) + 1/(cos^2 x))/((tan x)/x + (arctan x)/x) = (1 + 1)/(1 + 1) = 2/2 = 1 $

[caffeinaplus]

Tanto per iniziare grazie ad entrambi
Sui complessi sono veramente ignorante, mi spiace se ho detto una cosa che magari per voi era ovvia

Rispondendo singolarmente:
@piloeffe grazie per il "trucco", non mi era proprio venuto in mente

@spugna: perchè non posso moltiplicare e dividere per $x$?
Cioè, è ovvio che tu abbia ragione, dato che il limite mi ritorna un risultato errato quindi qualche cosa di illecito l'ho fatta, però pensavo che dato che tende a $0$ ma non è $0$ non fosse un problema moltiplicare e dividere.
Però se è vero che $lnx/x-> oo \rArr x/lnx->0$ per $x->0^+$ no?

[spugna]

@spugna: perchè non posso moltiplicare e dividere per $x$?
Cioè, è ovvio che tu abbia ragione, dato che il limite mi ritorna un risultato errato quindi qualche cosa di illecito l'ho fatta, però pensavo che dato che tende a $0$ ma non è $0$ non fosse un problema moltiplicare e dividere.
Però se è vero che $lnx/x-> oo \rArr x/lnx->0$ per $x->0^+$ no?

Non ho detto che non puoi moltiplicare e dividere per $x$ (e infatti si può fare), ma che spezzare quel prodotto come hai fatto tu non ti aiuta a concludere: il primo fattore tende a $0$ e il terzo a $-oo$, quindi da qui in poi cosa fai? Dal tuo primo messaggio sembra che tu li abbia semplificati l'uno con l'altro (e questo non sempre è lecito)

[caffeinaplus]

Ho rivisto il conto, ho fatto di peggio, avevo considerato che il terzo limite $->0$ invece che a $->oo$

Okay, quindi con il mio limite in verità non avrei concluso, ma mi sarei ritrovato impantanato in $0*oo$.
Ora è tutto chiaro, grazie mille