Omomorfismi tra anelli

Messaggioda manu22 » 13/11/2019, 18:41

Buonasera a tutti, intendevo porre una domanda su un esercizio che mi lascia un po' perplesso…
Determinare tutti gli omomorfismi $f$ dell’anello unitario $(ZZ,+,*)$ in $(QQ,+,*)$.

Ora dato che in un omomorfismo si conservano le operazioni definite nei due insiemi ho che $ \forall u,v\in ZZ $ devo avere $ f(u+v)=f(u)+f(v) $ e allo stesso tempo $ f(u*v)=f(u)*f(v) $.

Arrivato qui non riesco a proseguire con il ragionamento.
L'unica cosa che mi viene in mente è che se \( f(u)=u \) allora il sistema è risolto ed $f$ è omomorfismo.

Immagino che il quesito sia banalissimo ma l'argomento in questione mi è poco chiaro, dunque vi anticipo le mie scuse :?
manu22
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda gugo82 » 14/11/2019, 01:18

Se $f$ è un omomorfismo di anelli, allora $f(0) = 0$ (questa è una proprietà fondamentale, si dimostra nella teoria).

Ora, chi è $f(1)$?
Un educated guess lo puoi formulare facilmente, ma va dimostrato.
Vedi cosa puoi tirar fuori da $f(1) = f(1*1)$, dalle proprietà degli omomorfismi e da quelle di $QQ$.

E chi sarà mai $f(-1)$?
Anche qui il guess è ovvio.
Vedi se puoi dimostrarlo sfruttando $f(0)=f((-1) + 1)$, le proprietà degli omomorfismi e le proprietà dell’anello $QQ$.

E quanto vale $f(n)$ con $n >= 2$?
Il tentativo ovvio segue generalizzando i risultati precedenti, ma va dimostrato.
Sfrutta \( f(n) = f(\underbrace{1+1+\cdots +1}_{n \text{ volte}})\), le proprietà dei morfismi ed il valore di $f(1)$ (tornerà utile l’Induzione).

Ed infine quant’è $f(-n)$ per $n>=2$?
Questo è facile.

Ora non ti resta che concludere.
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda solaàl » 14/11/2019, 01:34

gugo82 ha scritto:Ora, chi è $f(1)$?

Beh, dipende! Assumere che \(f\) sia un omomorfismo rispetto a somma e prodotto non è sufficiente affinché \(f(1)=1\). Mi vengono in mente almeno tre esempi distinti:

- la mappa \(f :R \to S\) che vale costantemente zero;
- la mappa \(f : \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) che moltiplica per 7;
- la mappa \(f: \mathbb Z \to M_2(\mathbb Z)\) che manda \(z\) in \(\left(\begin{smallmatrix} z & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)\)...
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda anto_zoolander » 14/11/2019, 02:10

@solaàl

$QQ$ è un dominio di integrità quindi ogni morfismo non nullo deve mandare $1_(ZZ)|->1_(QQ)$
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda solaàl » 14/11/2019, 02:20

anto_zoolander ha scritto:@solaàl

$QQ$ è un dominio di integrità quindi ogni morfismo non nullo deve mandare $1_(ZZ)|->1_(QQ)$

Appunto, non nullo. In un dominio di integrità \(f(1)\) è un idempotente, quindi è 0 oppure 1. Infatti, senza chiedere che un omomorfismo di anelli rispetti l'unità, ci sono esattamente due omomorfismi di anelli \(\mathbb Z \to \mathbb Q\): la costante zero, e l'inclusione di un insieme nell'altro come sottoanello.
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda vict85 » 14/11/2019, 14:56

Alcuni autori/testi richiedono che i morfismi tra anelli unitari mandino 1 in 1. Per esempio su wikipedia è richiesto che lo faccia https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_homomorphism
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda solaàl » 14/11/2019, 15:00

Certo, lo chiedono proprio perché non segue dall'essere un omomorfismo...
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda gugo82 » 14/11/2019, 18:17

solaàl ha scritto:
gugo82 ha scritto:Ora, chi è $f(1)$?

Beh, dipende! Assumere che \(f\) sia un omomorfismo rispetto a somma e prodotto non è sufficiente affinché \(f(1)=1\). Mi vengono in mente almeno tre esempi distinti:

- la mappa \(f :R \to S\) che vale costantemente zero;
- la mappa \(f : \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/14\mathbb{Z}\) che moltiplica per 7;
- la mappa \(f: \mathbb Z \to M_2(\mathbb Z)\) che manda \(z\) in \(\left(\begin{smallmatrix} z & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)\)...


solaàl ha scritto:
anto_zoolander ha scritto:@solaàl

$QQ$ è un dominio di integrità quindi ogni morfismo non nullo deve mandare $1_(ZZ)|->1_(QQ)$

Appunto, non nullo. In un dominio di integrità \(f(1)\) è un idempotente, quindi è 0 oppure 1.

Appunto. $0$ ed $1$ sono le prime idee (guess) che vengono, no?
Quindi non vedo cosa ci sia di male nel suggerimento.

Piuttosto, quando proponi un esempio, assicurati che lo sia: se il testo prescrive di giocare con morfismi di $ZZ$ in $QQ$, proponi morfismi tra $ZZ$ e $QQ$ e non tra altre strutture scelte da te (tanto per far dare inutili dimostrazioni di penilunghismo puerile). :wink:
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda solaàl » 15/11/2019, 14:22

gugo82 ha scritto:Piuttosto, quando proponi un esempio, assicurati che lo sia: se il testo prescrive di giocare con morfismi di $ZZ$ in $QQ$, proponi morfismi tra $ZZ$ e $QQ$ e non tra altre strutture scelte da te (tanto per far dare inutili dimostrazioni di penilunghismo puerile). :wink:

Non ho capito cosa hai detto: puoi parlare italiano e non una lingua inventata da te, per favore? Non ho capito se mi stai prendendo in giro!

La mappa zero da \(\mathbb Z\) a \(\mathbb Q\) va bene come esempio, e negli altri casi gli anelli sono scelti per mostrare che quando non si prendono integral domains ci sono altre possibilità diverse da 0 e 1 per $f(1)$... o non ho capito qualcosa?
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Re: Omomorfismi tra anelli

Messaggioda anto_zoolander » 15/11/2019, 14:37

Si è fatto capire abbastanza bene

L’esercizio chiede di determinare una proprietà sui morfismi $ZZ->QQ$ e tu hai tirato fuori esempi che c’entrano ben poco: quando Gugo scrive “chi è $f(1)$?” è perfettamente contestualizzato e privo di ambiguità considerando l’esercizio in esame, pertanto non ha senso dire “dipende” e citare esempi nei quali l’anello di arrivo non ha le stesse proprietà di $QQ$

Questo perché i morfismi $ZZ->QQ$ possono essere soltanto tali che $f(1) in {0,1}$ mentre nei tuoi esempi potrebbe spuntare anche altro
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