Re: Matematica dolce: perché gli iperreali?

Messaggioda axpgn » 07/10/2019, 16:49

Ok, mi è chiaro il messaggio.

Che ne pensi di un approccio "iniziale" con gli iperreali (quantomeno alle superiori) per poi passare (più o meno gradualmente) alla modalità "classica"? Detto così è un po' rozzo, ovviamente andrebbe fatto in un modo didatticamente "efficiente" (da quel che ho capito Keisler fa così); quali controindicazioni vedresti (in primis la confusione, presumo … )?

Comunque questa
gugo82 ha scritto:… preferire approcciare ai limiti in $ text()^**RR $ piuttosto che in $ RR $ può avere i suoi limiti.
è bellissima :lol:

Cordialmente, Alex
axpgn
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Re: Matematica dolce: perché gli iperreali?

Messaggioda giuliofis » 10/10/2019, 13:33

gabriella127 ha scritto:Credo, da quello che ho letto, che l'uso dell'analisi non standard nella didattica sia perché si pensa che gli infinitesimi siano più intuitivi delle definizioni dell'analisi standard, tipo $epsilon-delta$.

Questo probabilmente è vero, ma finché i programmi scolastici non virano in tal senso non credo sia una buona idea scrivere un libro poco utilizzabile.
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Re: Matematica dolce: perché gli iperreali?

Messaggioda gugo82 » 10/10/2019, 15:35

axpgn ha scritto:Che ne pensi di un approccio "iniziale" con gli iperreali (quantomeno alle superiori) per poi passare (più o meno gradualmente) alla modalità "classica"? Detto così è un po' rozzo, ovviamente andrebbe fatto in un modo didatticamente "efficiente" (da quel che ho capito Keisler fa così); quali controindicazioni vedresti (in primis la confusione, presumo … )?

Detto in maniera “tradizionalista”, questo approccio non rende giustizia alla vera natura dell’Analisi Matematica la quale, citando qualcuno che non ricordo, fondamentalmente è l’arte delle disuguaglianze (e ciò si comprende proprio da subito guardando in faccia la definizione di limite -o di estremo inferiore e superiore, se vuoi-).

axpgn ha scritto:Comunque questa
gugo82 ha scritto:… preferire approcciare ai limiti in $ text()^**RR $ piuttosto che in $ RR $ può avere i suoi limiti.
è bellissima :lol:

La cosa bella è che (contrariamente al solito) non l’ho pensata.
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Re: Matematica dolce: perché gli iperreali?

Messaggioda solaàl » 14/11/2019, 02:39

gugo82 ha scritto:Tuttavia, non tutte le proposizioni espresse in linguaggio “d’ordine superiore” che sono vere in $RR$ risultano vere in $text()^** RR$, il che (detto sempre rozzamente) significa che non tutte le frasi che contengono quantificatori agenti su insiemi e vere in $RR$ sono automaticamente vere in $text()^**RR$.

Fai un esempio di una formula al second'ordine che non è vera in $text()^**RR$?

Mi sembra che rimuoverne alcune (per esempio la proprietà archimedea) sia proprio lo scopo che la teoria si pone; per questo non lo chiamerei un "difetto".
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Re: Matematica dolce: perché gli iperreali?

Messaggioda solaàl » 14/11/2019, 10:02

Ho letto un po' di cose, e mi sembra che

- il fatto che l'estensione \(^*\mathbb C\) di \(\mathbb R\) fatta dalle coppie \((x,y)\) con somma componente per componente e prodotto dato da \((a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\) sia un campo si scrive al primo ordine, e quindi, per il principio di transfer, deve essere vero per \(^*\mathbb R\); così come il fatto che \(^*\mathbb C\) è un campo algebricamente chiuso. Tu cosa ti stavi chiedendo?

-
sebbene in $CC$ l’Algebra sia bellissima e sebbene su $CC$ si possa mettere una struttura d’ordine (anche totale), essa non si tiene insieme con le operazioni di campo.

Lo stesso accade con i numeri iperreali? Boh, lo devo dimostrare.

In un campo totalmente ordinato i quadrati sono maggiori di zero, no?

- gli unici enunciati al second'ordine che mi vengono in mente sono in positivo, ossia cose che non si possono dimostrare false al primo ordine, e quindi hanno speranza di esistere in \(^*\mathbb R\)... non ne trovo uno negativo!
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Re: Matematica dolce: perché gli iperreali?

Messaggioda vict85 » 14/11/2019, 14:41

@Gugo: Per gli ultraprodotti penso esistano risultati generali che dimostrano che producono "buone estensioni" (insomma sono uno strumento piuttosto standard per creare estensioni elementari1). Inoltre, i filtri sono usati anche in topologia come estensione del concetto di successione ed c'è molta teoria a riguardo (anche se personalmente mi piace più la teoria delle net che quella degli ultrafiltri). Insomma, visto dal punto di vista della teoria dei modelli, tutti questi aspetti sembrano banali :lol: (anche se il concetto di limite è certo più intuitivo di qualsiasi cosa della teoria dei modelli :wink: ).

Non sono comunque un amante dell'analisi non standard. Il problema del concetto di limite viene infatti risolto abbastanza elegantemente in topologia generale. La versione analitica, espressa con le dimostrazioni \(\varepsilon\)-\(\delta\) non la trovo parimenti apprezzabile, ma funge comunque da introduzione alla definizione più generale. L'analisi non-standard ha solo il vantaggio di dare un senso al concetto di infinitesimo e quindi di rendere meno vaghe e informali tutta una serie di affermazioni che vengono propinate agli studenti con la speranza che capiscano qualcosa di un concetto ritenuto complesso. D'altra parte il concetto di infinitesimo non è poi così intuitivo negli iperreali.

[EDIT] OK, era esattamente quello che intendevi con equivalenza delle teorie del primo ordine. Certo che la mia teoria dei modelli è proprio arrugginita... :roll:

Note

  1. Lo avevo studiato, ora ricordo molto poco. :oops:
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