campo conservativo e irrotazionale

Messaggioda Matteo.gregori » 12/11/2019, 21:06

salve, chiedo il vostro aiuto per capire un esercizio su un campo conservativo e irrotazionale.
l'esercizio dice che una condizione essenziale perchè un campo irrotazionale sia conservativo è che il dominio sia a connessione lineare semplice, che io ho interpretato con semplicemente connesso, e fin qui (anche se non ho mai toccato con mano la cosa) mi va bene, poi dice che preso un campo:
$ vecu=(yhati-xhatj)/(sqrt(x^2+y^2) $
questo è irrotazionale, e qui mi basta fare il rotore :
$ | ( i , j , k ),( frac{partial}{partial x} , frac{partial}{partial y} , frac{partial}{partial z} ),( y/(sqrt(x^2+y^2)),-x/(sqrt(x^2+y^2)) , 0 ) | = {frac{partial}{partial z}x/(sqrt(x^2+y^2)) \hati =0,-frac{partial}{partial z}y/(sqrt(x^2+y^2)) \hatj =0,-1/(sqrt(x^2+y^2)) \hatk} $
quindi su i e j è 0 perfetto ora dice, calcolando la circuitazione di u sulla circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine si trova che non è conservativo. quindi deduco che il dominio non sia semplicemente connesso, ora per dimostrare questo volevo fare l'integrale circuitale sulla circonferenza tipo:
$ oint_c vecu cdot dvecl $
ora al di la della difficoltà che posso trovare a parametrizzare e calcolare tutto quello che non capisco è,
1) il dominio di questa funzione è tutto $ R $ /{0,0} e quindi indipendentemente se faccio il conto su una circonferenza o un quadrato mi dovrebbe sempre tornare diverso da zero giusto ? cioè non dipende dalla scelta che io faccio.
2) ok questo dominio non va bene posso restringere il dominio affinchè questo sia semplicemente connesso e il campo sia conservativo e irrotazionale ?
scusate se non sono stato molto chiaro
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Re: campo conservativo e irrotazionale

Messaggioda Bokonon » 12/11/2019, 23:23

Prova a leggere questo thread.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=189637

P.S. perchè chiami in causa $hat(k)$?
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Re: campo conservativo e irrotazionale

Messaggioda obnoxious » 12/11/2019, 23:32

Prima di tutto devi fare un po' di chiarezza, mi sembra un po' un flusso di coscienza. Dove consideri quel campo? In \( \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \), in \( \mathbb{R}^3 \setminus \{ (0,0,0) \} \) o in \( \mathbb{R}^3 \setminus \{ z=0 \} \)?
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è un po' che non mi annoio
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Re: campo conservativo e irrotazionale

Messaggioda Matteo.gregori » 14/11/2019, 09:16

Bokonon ha scritto:Prova a leggere questo thread.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=189637

ora gli do uno sguardo
P.S. perchè chiami in causa $hat(k)$?

perchè mi confonde il concetto di irrotazionale, mi spiego, se faccio il grafico di questo campo vettoriale a me sembra "ruotare", ma il testo dice irrotazionale, allora ho pensato che le componenti su $hat(i)$ e $hat(j)$ debbano essere zero mentre quella su $hat(k)$ debba essere diversa da zero (perchè io lo vedo ruotare). Magari non ho capito io.
obnoxious ha scritto:Prima di tutto devi fare un po' di chiarezza, mi sembra un po' un flusso di coscienza. Dove consideri quel campo? In \( \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \), in \( \mathbb{R}^3 \setminus \{ (0,0,0) \} \) o in \( \mathbb{R}^3 \setminus \{ z=0 \} \)?

allora io pensavo che il dominio di questa funzione sia \( \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0,0) \} \), ma che differenza fa se io scegliessi ad esempio \( \mathbb{R}^3 \setminus \{ z=0 \} \) ?
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Re: campo conservativo e irrotazionale

Messaggioda Bokonon » 14/11/2019, 15:20

Matteo.gregori ha scritto:perchè mi confonde il concetto di irrotazionale, mi spiego, se faccio il grafico di questo campo vettoriale a me sembra "ruotare", ma il testo dice irrotazionale, allora ho pensato che le componenti su $hat(i)$ e $hat(j)$ debbano essere zero mentre quella su $hat(k)$ debba essere diversa da zero (perchè io lo vedo ruotare). Magari non ho capito io.

Ma nooo!
Mi hai fatto sorridere, lo ammetto.
Irrotazionale significa che il rotore è nullo, ovvero che la jacobiana è simmetrica.
E se è irrotazionale, allora il campo è conservativo, ovvero è un campo gradiente, ovvero l'integrale di linea/superficie lungo un tragitto chiuso è sempre pari a 0.
Confondi il campo vettoriale con il concetto di rotore.

Prendiamo un tragitto chiuso semplice in un campo di forza:
Immagine
Questo è un campo di forza chiaramente simmetrico, perchè muovendoci in senso orario vediamo che esistono coppie di punti del tragitto in cui la forza agisce sul corpo con la medesima intensità (la lunghezza del vettore) ma in senso opposto. Sommando le coppie di vettori dello stesso colore, si ottiene il vettore nullo.

Se il rotore è nullo lungo qualsiasi tragitto chiuso, allora il campo è irrotazionale e quindi conservativo.
Questo accade sempre quando il campo è gradiente e il dominio è semplicemente connesso: avremo una forma esatta da cui è possibile ricavare il potenziale.

In 2D (ovvero il gradiente di una superficie) semplicemente connesso significa che non deve avere buchi.
In 3D (ovvero il gradiente di un potenziale quadridimensionale) invece il dominio è semplicemente connesso anche se vi è un punto in cui il gradiente è indefinito.
Ecco perchè ti si chiede in quale caso ci troviamo.

Assumendo che sia 2D allora abbiamo un buco nell'origine e (se hai letto la risposta di Gugo82 nel thread) vedi che un modo per determinare se il campo è irrotazionale è quello di calcolare un integrale di linea attorno al punto di interesse e vedere cosa accade. Se a differenza della figura sopra, le coppie di vettori hanno diversa intensità allora il lavoro non sarà pari a zero.

Io non sono un fisico e nemmeno un matematico ed ho provato a darti un'idea generale terra terra.
Altri, eventualmente, faranno le dovute correzioni/precisazioni sia sul significato fisico sia sui teoremi matematici coinvolti. Mi preme solo sottolineare che senza simmetria il campo non è mai conservativo.
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