Dubbi sui Sottogruppi Ciclici abeliani

[AlexanderSC]

Buongiorno,

In una delle osservazioni che ho trovato in un file sui spttogruppi ciclici, è che essi saranno tutti abeliani.

Ecco un estratto:

"Innanzitutto assumiamo che G abbia notazione moltiplicativa e consoderiamone un sottogruppo ciclico <x>.
Presi comunque \( x^h,x^k\in <x> \) , risulta:


\( x^h*x^k = x^(h+k) = x^(k+h) =x^k*x^h \)

"
Quando parliamo di gruppo abeliano, non ci riferiamo ESCLUSIVAMENTE a quella coppia (A, + ) la quale sarà un gruppo commutativo?

<x> sembra abbia invece applicato ai suoi elementi la notazione moltiplicativa, questo in sè, non è una contraddizione?
Non dovrebbe fare una cosa del tipo:

\( x^h+x^k = \) ecc . . . per poter dimostrare una prpprietà?

P.s.
Forse questo si trova al centro della mia confusione, ma la proprietà che stiamo dimostrando è quella commutativa giusto?

Grazie per l'ascolto.

[vict85]

Questo è un aspetto che confonde in molti. Per i gruppi si usa in genere la notazione moltiplicativa mentre per quelli abeliani si usa quella additiva, ma queste notazioni non hanno nulla a che fare con le normali operazioni degli anelli.

Dato un gruppo abeliano \(G\) scritto con notazione additiva, la scrittura \(x^h\) non ha alcun significato. Insomma, puoi dargli un qualche significato, ma allora smette di essere un gruppo e diventa altro. Tra l'altro non c'è alcun obbligo di usare la notazione additiva per i gruppi abeliani. Per esempio, il gruppo moltiplicativo di \(\mathbb{R}\) è abeliano ma è scritto con la notazione moltiplicativa. La stessa cosa vale per i sottogruppi abeliani di gruppi che non usano la notazione additiva.

Tra l'altro, per i gruppi ciclici, si tende ad usare la notazione moltiplicativa, anche se sono abeliani. Penso si faccia perché la notazione moltiplicativa è più compatta. In generale, non cercare di estrapolare proprietà dalla notazione usata.


Detto questo, il testo stava ovviamente cercando di dimostrare che tutti i gruppi ciclici sono abeliani, quindi di fatto l'abelianità non era conosciuta a priori. Tieni conto che nella scrittura \(x^hx^k = x^{h+k} = x^{k+h} = x^{k}x^{h}\) sta usando la proprietà associativa del prodotto e non la proprietà commutativa. Per intenderci, fa questo:
\[\begin{align*} x^2x^3 &= (xx)(xxx) \\

&= (xxx)(xx)
\\
&= x^3x^2 \end{align*} \]

[AlexanderSC]

Quindi con Abeliano ci riferiamo ad un gruppo commutativo, che sia accompagnato da un'operazione additiva o moltiplicativa, giusto?
(Però in genere si usa per i gruppi additivi commutativi)

Perché poi ha parlato di anelli?

Capisco che nell'operazione c'è un misto di operazione somma e prodotto, però per tutto il testo non ha parlato di anelli.

Capisco, quindi è associativa, ma un gruppo abeliano dovrebbe avere anche l'elemento neutro, il reciproco e la commutazione, ma non ne parla, la sta dando per scontato?

Il gruppo abeliano che mi esce si denoterà come:(<x>, +)?
Oppure come (<x>, •)? Oppure l'anello (<x>, +, • )?

[vict85]

Ho fatto riferimento agli anelli per la scrittura \(x^h + x^r\) che ha senso negli anelli ma non nei gruppi.

I gruppi si scrivono nel modo in cui si vuole. Se vuoi scrivere l'operazione del gruppo con \(\odot\), lo puoi fare (a patto che tu lo dichiari prima). Esistono poi due notazioni "standard": quella moltiplicativa e quella additiva. Quella additiva può essere usata solo per gruppi abeliani, mentre quella moltiplicativa può essere usata per qualsiasi gruppo.

Nota che il sottogruppo ciclico \(\displaystyle \langle x\rangle \) è un sottogruppo e come tale deve sempre usare la notazione del gruppo che lo contiene.

[AlexanderSC]

Quindi il sottogruppo <x> avrà il segno moltiplicativo, giusto?
La mia domanda sull'elemento neutro ecc . . . era una gran cavolata, me ne accorgo ora che mi ha ricordato che <x> è un sottogruppo.
La dimostrazione che esso sia abeliano però ancora non riesco ancora ad afferrarla.
Mi manca proprio il collegamento fra la tesi e la dimostrazione.

[vict85]

Vediamo di mostrarlo in un "altro" modo.

Il gruppo \(\mathbb{Z}\) possiede la seguente proprietà universale: per ogni gruppo \(G\), ed elemento \(g\in G\), esiste un unico morfismo di gruppi \(\phi_{G,g}\) tale che \(\phi_{G,g}(1) = g\). Questo morfismo può essere usato come definizione di multiplo di un elemento del gruppo. Insomma \(g^n = \phi_{G,g}(n)\). Inoltre \(\phi_{G,g}(\mathbb{Z}) = \langle g\rangle\).
Potrebbe sembrare come un ragionamento circolare, ma non lo è. Infatti, \(\phi_{G,g}(1) = g\) identifica univocamente il morfismo in questione e non è necessario aggiungere altro.

Detto questo, \(\phi_{G,g}(\mathbb{Z}) = \langle g\rangle\) è abeliano perché immagine di un gruppo abeliano tramite un morfismo di gruppi.

[AlexanderSC]

Uffa, penso che sia un problema di concetti teorici, appena posso tornerò a studiare le parti che mi mancano(come "perché immagine di un gruppo abeliano tramite un morfismo di gruppi").
Grazie per le risposte fino adesso!

[vict85]

È possibile che tu non abbia ancora visto gli omomorfismi di gruppi. Il punto della dimostrazione è che un elemento commuta banalmente con se stesso e quindi, per induzione con ogni sua potenza.