Dimostrazione formula risolutiva disequazioni con valori assoluti

[BayMax]

Buongiorno a tutti !

Oggi mi rivolgo a voi per chiedervi, gentilmente, di aiutarmi a dimostrare due analoghe formule risolutive delle disequazioni con moduli. In particolare mi riferisco alle seguenti:

$|A(x)|>B(x) rArr A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x) $ e $|A(x)|<B(x) rArr -B(x)<A(x)<B(x)$.

So che valgono e so come utilizzarle. So che discendono direttamente dalla definizione di modulo nel caso in cui $B(x)$ sia una costante indipendente da $x$. Ma come faccio a dimostrarlo per una generica funzione in x ?

Io ho ragionato così:
Prendiamo la seconda (per la prima immagino sia analogo): $|A(x)|>B(x) rArr A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x) $. Posso scrivere:

${(A(x)>=0),(A(x)>B(x)):}$ $vv$ ${(A(x)<0),(A(x)<-B(x)):}$

Ora divido i due casi in base al segno di $B(x)$:

se $B(x)>=0$ dal primo sistema si ha $A(x)>B(x)$ e dal secondo $A(x)<-B(x)$ e così è dimostrata la formula nel caso di $B(x)>=0$.
Ma, nel caso $B(x)<0$ (che rende immediatamente ovvia la relazione $|A(x)|>B(x)$) si ha: dal primo sistema $A(x)>=0$ e dal secondo $A(x)<0$, come era lecito aspettarsi da quanto detto un momento fa, ma come faccio a ricondurre queste ultime relazioni alla formula risolutiva $A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x)$ indipentemente dal segno di $B(x)$ ?

Grazie sin da ora a quanti risponderanno e, come sempre,

saluti

BayMax

[axpgn]

A parte l'inutilità di quelle formule (opinione personale), non c'è niente da dimostrare: nel momento che "sciogli" il valore assoluto hai già la tesi.

[BayMax]

Ciao @axpgn !

Innanzitutto grazie per la risposta. Non mi trovo d'accordo con te sull'inutilità di quelle formule, in quanto permettono di risolvere disequazioni con un solo modulo svolgendo due sole disequazioni piuttosto che due sistemi da due disequazioni l'uno. Poi è vero che queste formule cadono in difetto nel momento in cui hai un secondo modulo e, pertanto, bisogna necessariamente studiare il segno degli argomenti ed io preferisco sempre il metodo più generale possibile a quello particolare, quindi, se intendevi questo, concordo con te. Detto ciò, per la non necessità della dimostrazione e per il fatto che quelle formule discenderebbero direttamente dallo scioglimento del modulo, non riesco proprio a vederlo. O meglio, riesco a vedere che dallo scioglimento del modulo posso passare da questa $|A(x)|<k$ a questa $-k<A(x)<k$ con $k in R^+$ e da questa $|A(x)|>k$ a questa $A(x)<-k vv A(x)>k$ con $k in R^+$, ma se invece di k reale ho un'espressione in x non riesco a vedere perché rimane lecito questo scioglimento del modulo. Mi spiego meglio. Prendiamo questo esempio: $|2x+1|=3x$; dalle proprietà dei moduli io so che $|x|=3$ equivale a $x=+-3$, ma, nel momento in cui al posto di un reale positivo ho un'espressione in x, se applico questa proprietà, commetto un errore, infatti, se risolvo $|2x+1|=3x$ dividendola in $2x+1=3x$ e $2x+1=-3x$ ottengo due soluzioni ($x=1$ e $x=-1/5$) solo la prima delle quali risulta accettabile. Da qui il mio dubbio del poter sciogliere tranquillamente il valore assoluto applicando le definizioni anche ad espressioni contenenti la x. Dov'è che sbaglio ?

Saluti

BayMax

[axpgn]

Sono assolutamente inutili perché sono la stessa cosa
Ovvero quando ti trovi di fronte a questa $ |A(x)|>B(x) $ la maggior parte delle volte "sciogli il modulo" ovvero passi a questa $A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x)$ e questo risolvi (a meno che sia così "facile" da risolvere che lo fai direttamente sulla prima).
Nel tuo esempio stai risolvendo un equazione non una disequazione; non è la stessa cosa
Prova a rifarla ...

[BayMax]

Ri-ciao @axpgn.

Quell'equazione era solo un esempio, per risolverla so che va studiato il segno del modulo e poi svolti i due sistemi che vengono fuori: $|2x+1|=3x rArr {(x>=-1/2),(2x+1=3x):} vv {(x<-1/2),(2x+1=-3x):}$. Era solo un esempio per dire che, nel caso $|A(x)|=k$ con $k in R^+$ vale una formula che nel caso in cui al posto di $k$ si abbia un'espressione in x non vale più. E lo stesso discorso per le disequazioni, cioè riesco a vedere che $|A(x)|<k$ equivale a $-k<A(x)<k$ con $k in R^+$, ma non riesco a capire perché $|A(x)|<B(x)$ equivale a $-B(x)<A(x)<B(x)$ e, dunque, perché i due sistemi ${(A(x)>=0),(A(x)<B(x)):} e {(A(x)<0),(A(x)> -B(x)):}$ equivalgono a $-B(x)<A(x)<B(x)$ o, analogamente, perché i due sistemi ${(A(x)>=0),(A(x)>B(x)):} e {(A(x)<0),(A(x)< -B(x)):}$ equivalgono a $A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x)$.

Si, lo so, sono stupido, ma proprio non lo vedo

[gugo82]

La seconda formula:

$ |A(x)|<B(x) rArr -B(x)<A(x)<B(x) $

è più falsa che vera.

Infatti, difficilmente puoi affermare che $|x| < -x^2$ ha come soluzioni $x^2 < x < - x^2$.

Ri-ciao @axpgn.

Quell'equazione era solo un esempio, per risolverla so che va studiato il segno del modulo e poi svolti i due sistemi che vengono fuori: $|2x+1|=3x rArr {(x>=-1/2),(2x+1=3x):} vv {(x<-1/2),(2x+1=-3x):}$. Era solo un esempio per dire che, nel caso $|A(x)|=k$ con $k in R^+$ vale una formula che nel caso in cui al posto di $k$ si abbia un'espressione in x non vale più. E lo stesso discorso per le disequazioni, cioè riesco a vedere che $|A(x)|<k$ equivale a $-k<A(x)<k$ con $k in R^+$, ma non riesco a capire perché $|A(x)|<B(x)$ equivale a $-B(x)<A(x)<B(x)$ e, dunque, perché i due sistemi ${(A(x)>=0),(A(x)<B(x)):} e {(A(x)<0),(A(x)> -B(x)):}$ equivalgono a $-B(x)<A(x)<B(x)$ o, analogamente, perché i due sistemi ${(A(x)>=0),(A(x)>B(x)):} e {(A(x)<0),(A(x)< -B(x)):}$ equivalgono a $A(x)<-B(x) vv A(x)>B(x)$.

Si, lo so, sono stupido, ma proprio non lo vedo

Non lo vedi perché non è vero.

[BayMax]

Ciao @gugo82 !

Innanzitutto grazie per aver risposto. Non mi trovo con ciò che dici, però.

La seconda formula:

$|A(x)|<B(x)⇒−B(x)<A(x)<B(x)$

è più falsa che vera.

Infatti, difficilmente puoi affermare che $|x|<−x^2$ ha come soluzioni $x^2<x<−x^2$.

Come è più falsa che vera ? E' un metodo risolutivo delle disequazioni che presentano un unico modulo, infatti $|x|<−x^2$ è equivalente a $x^2<x<−x^2$ nel senso che entrambe risultano prive di soluzione.

[gugo82]

Lascia stare l’equivalenza… Il primo requisito di una scrittura è quella di avere senso ed $x^2 < x < -x^2$ non ne ha alcuno.¹

Te la dico così come la vedo.
I trucchetti meccanici per la risoluzione di equazioni e disequazioni (di cui sono infarciti i libri del liceo) sembrano servire solamente a sollevare la mente dal “peso” del ragionamento; ma ciò non è giusto: la mente è fatta per ragionare sulle cose, non per eseguire comandi a macchinetta.
Quindi, quando si risolve un problema (di qualsiasi natura, matematica e non) bisogna prima ragionarci sopra e poi mettere in moto tecniche risolutive (più o meno) standard. Detto altrimenti, il calcolo è subordinato al ragionamento, non può sostituirlo.²

---

Note

1. La quantità a primo membro è $>=0$, mentre quella al terzo è $<=0$; dunque non c’è alcuna chance che $x^2 < -x^2$. ↑
2. Questo vale in linea di massima e soprattutto per problemi elementari. È chiaro che alcune volte, cioè quando il ragionamento non risulta conclusivo o quando si sente che si sta sviando dal problema, il calcolo aiuta a farsi un’idea più precisa di come vanno le cose (di qui il motto Shut up and calculate!, “zitto e calcola!”, in voga tra i fisici). ↑

[BayMax]

Ancora una volta grazie della risposta @gugo82.

I trucchetti meccanici per la risoluzione di equazioni e disequazioni (di cui sono infarciti i libri del liceo) sembrano servire solamente a sollevare la mente dal “peso” del ragionamento; ma ciò non è giusto: la mente è fatta per ragionare sulle cose, non per eseguire comandi a macchinetta.
Quindi, quando si risolve un problema (di qualsiasi natura, matematica e non) bisogna prima ragionarci sopra e poi mettere in moto tecniche risolutive (più o meno) standard. Detto altrimenti, il calcolo è subordinato al ragionamento, non può sostituirlo.

Su questo mi trovi assolutamente d'accordo. Infatti sono uno di quelli che predilige il più possibile il ragionamento alla pura memoria di una formula. Per farti un esempio, puntualmente mi dimentico i sistemi risolutivi delle disequazioni irrazionali, ma con un piccolo ragionamento, sapendo cosa c'è alla base di quei sistemi, riesco a ricostruirli. Tra l'altro proprio questo mio voler sempre capire il ragionamento alla base di una formula mi ha portato (e mi porta tuttora) a "perdere" tanto tempo nello studio di argomenti banali proprio perché vorrei capirne ogni sfumatura (so che per molti aspetti questo non sempre paga, ma ho messo il "perdere" tra virgolette in quanto mi auguro che questo metodo di studio sia più un investimento per il futuro piuttosto che una perdita di tempo e mi permetterà di non dimenticare argomenti che, invece, affidati alla memoria, non riuscirei a ricordare per più di qualche settimana, nel migliore dei casi). Ed è proprio questo mio volere capire a fondo le cose che mi ha portato alla domanda del post: ho dedotto (sbagliando, forse ?) che se due strade (in questo caso lo scioglimento del modulo coi due sistemi e la doppia disequazione) portano allo stesso risultato allora devono essere equivalenti (nel senso che devo riuscire a ricondurre l'una all'altra e viceversa). E proprio questo volevo sapere, se è possibile vedere questa ${(A(x)≥0),(A(x)<B(x)):} e {(A(x)<0),(A(x)>−B(x)):}$ come questa $−B(x)<A(x)<B(x)$.

Saluti

BayMax

[gugo82]

No, non sempre.

Perché?
Rifletti sull’esempio che ho scritto sopra.