salve, chiedo il vostro aiuto per capire un esercizio su un campo conservativo e irrotazionale.
l'esercizio dice che una condizione essenziale perchè un campo irrotazionale sia conservativo è che il dominio sia a connessione lineare semplice, che io ho interpretato con semplicemente connesso, e fin qui (anche se non ho mai toccato con mano la cosa) mi va bene, poi dice che preso un campo:
$ vecu=(yhati-xhatj)/(sqrt(x^2+y^2) $
questo è irrotazionale, e qui mi basta fare il rotore :
$ | ( i , j , k ),( frac{partial}{partial x} , frac{partial}{partial y} , frac{partial}{partial z} ),( y/(sqrt(x^2+y^2)),-x/(sqrt(x^2+y^2)) , 0 ) | = {frac{partial}{partial z}x/(sqrt(x^2+y^2)) \hati =0,-frac{partial}{partial z}y/(sqrt(x^2+y^2)) \hatj =0,-1/(sqrt(x^2+y^2)) \hatk} $
quindi su i e j è 0 perfetto ora dice, calcolando la circuitazione di u sulla circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine si trova che non è conservativo. quindi deduco che il dominio non sia semplicemente connesso, ora per dimostrare questo volevo fare l'integrale circuitale sulla circonferenza tipo:
$ oint_c vecu cdot dvecl $
ora al di la della difficoltà che posso trovare a parametrizzare e calcolare tutto quello che non capisco è,
1) il dominio di questa funzione è tutto $ R $ /{0,0} e quindi indipendentemente se faccio il conto su una circonferenza o un quadrato mi dovrebbe sempre tornare diverso da zero giusto ? cioè non dipende dalla scelta che io faccio.
2) ok questo dominio non va bene posso restringere il dominio affinchè questo sia semplicemente connesso e il campo sia conservativo e irrotazionale ?
scusate se non sono stato molto chiaro