Funzione olomorfa, identicamente nulla.

[3m0o]

È tutto oggi che cercavo di postare ma purtroppo c'era un problema tecnico e il mio messaggio si è perso. Tra le altre cose, volevo dire che non è vero che g è analitica.

Ma scusa \(g \) non è prodotto di due funzioni analitiche sul disco aperto e quindi analitica?

Comunque, chiedendo all'assistente oggi, la funzione è definita sul bordo \(\partial \mathbb{D} \) e analitica solo \( \mathbb{D} \).
\[ \oint_{\partial \mathbb{D}} f^2(z) dz = 0 \] e ponendo \( z = e^{it} \)
\[ \int_{0}^{2 \pi } i e^{it} f^2(e^{it})dt=i \int_{0}^{2 \pi } e^{it} f^2(e^{it})dt=0 \]
e siccome \( e^{it/2} f(e^{it})\in \mathbb{R}\) abbiamo che \( e^{it} f^2(e^{it}) \in \mathbb{R}_+ \) pertanto \( f(e^{ it}) =0 \forall t \in \mathbb{R}\).
L'unica cosa è che non capisco bene è perché posso usare il principio degli zeri isolati per afferma che allora è identicamente nulla sul disco aperto. La funzione non è analitica sul bordo, come faccio a dedurre che è zero ovunque?

Edit: Secondo me gli zeri isolati non si possono usare, ma utilizzerei uno di questi 3 modi qui di seguito:
Per i quali ho un dubbio
1)
Per la formula integrale di Cauchy e \( \forall z \in \mathbb{D} \) abbiamo
\[ f(z) = \oint_{\partial \mathbb{D}} \frac{f(\xi)}{\xi-z} d\xi = \oint_{\partial \mathbb{D}} 0 d\xi=0 \]

Dubbio: la formula è valida anche integrando su \( \partial \mathbb{D} \) perché posso avvicinarmi arbitrariamente al bordo, nonostante sia anlitica solo su \( \mathbb{D} \), è corretto ?
2)
Per il principio dei massimi posso affermarere che se \( f(z) \neq 0 \) su \( \forall z \in D(z_0,r) \subset \mathbb{D} \) allora esiste \( \omega \in D(z_0,r) \) tale che \( \left| f(\omega) \right| \) è un massimo locale siccome su \( \partial\mathbb{D} \) si annulla e quindi è costante e quindi nulla perché si annulla sul bordo.

Dubbio: posso affermare che è un massimo locale? Magari la funzione effettivamente non ha massimi locali all interno del disco aperto e siccome non è analitica sul bordo il principio dei massimi non è contradetto.
3)
Supponiamo \( f(z) \neq 0 \) su \(\forall z\in D(z_0,r) \subset \mathbb{D} \), senza perdità di generalità possiamo supporre \( z_0 = 0 \), ponendo sul disco aperto \[ f(x) = \sum_n a_n z^z \]
Abbiamo che \( \forall z \in D(0,r) \)
\[ \left|f(z)\right|^2 = \left| \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^{n} \right|^2 \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left| a_n \right|^2 r^{2n} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left| f(re^{it}) \right|^2 dt \]
E siccome è vero anche con \( r \) arbitrariamente vicino ad \( 1 \) abbiamo che con \( r \to 1 \)
\[ \left|f(z)\right|^2 \leq \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \left| f(e^{it}) \right|^2 dt = 0 \]
Pertanto abbiamo che che \( f(z) = 0\) \( \forall z \in D(0,r) \) e e per il principio degli zeri isolati abbiamo che \( f \equiv 0 \) su \( \mathbb{D} \).

Dubbio: il medesimo del 1)

[dissonance]

Quanto alla \(g\), tu la definisci solo sul bordo, come
\[
g(e^{it})=f(e^{it})e^{it/2}, \]
e non nell'interno del disco. Quindi non è chiaro come prolungarla ad una funzione analitica nell'interno.

Comunque mi piace molto la soluzione dell'assistente. La tua idea 1 funziona perfettamente. Puoi anche usare il principio del massimo modulo, se preferisci.

[3m0o]

Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \)

Non l'ho definita solo sul bordo

La tua idea 1 funziona perfettamente. Puoi anche usare il principio del massimo modulo, se preferisci.

Quindi posso tranquillamente usare la formula integrale di Cauchy sul bordo nonostante non sia analitica sul bordo?
Pertanto anche la 3) funziona?

Comunque mi piace molto la soluzione dell'assistente.

Si anche a me è piaciuta molto! In realtà il problema originale era il suddetto
Sia \( f: \mathbb{H} \to \mathbb{C} \) analitica sul semi-piano \( \mathbb{H} = \{ z : \Im(z)\geq 0 \} \) e tale che
\( f(z) \in e^{- i \pi/4} \mathbb{R} \) se \( z \in \mathbb{R} \) e tale che \( \int_{\mathbb{R} } \left| f(z) \right|^2 dz < \infty \), dimostra che \( f \equiv 0 \).

Però l'assistente si è accorto in seguito che questa condizione \( \int_{\mathbb{R} } \left| f(z) \right|^2 dz < \infty \) non è sufficiente ma che doveva richiedere \( \int_{\mathbb{C} } \left| f(z) \right|^2 dz < \infty \) per evitare che non ci siano residui all'infinito (o singolarità all infinito, non ricordo), ma siccome non abbiamo ancora visto cosa vuol dire \( \int_{\mathbb{C}} \), ne tanto meno cosa siano i residui, ha corretto l'esercizio. Oppure poteva richidere che \( \left| f(z) \right| < \frac{1}{\left| z \right|^{1+ \alpha}} \)
E mi ha spiegato che fondamentalmente è lo stesso esercizio difatti usando una trasformazione di Möbius puoi trasfromare il disco unitario \( \mathbb{D} \) in \( \mathbb{H} \) conservando gli angoli e la condizione \( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \) si trasforma in \( f(z) \in e^{- \pi/4} \mathbb{R} \) se \( z \in \mathbb{R} \).
Questa ultima cosa mi perplime. Infatti dire \( f(z) \in e^{- \pi/4} \mathbb{R} \) equivale a dire \( f(z)e^{i \pi/4} \in \mathbb{R} \). Ora sul disco abbiamo \( f(e^{it})e^{it/2} \in \mathbb{R} \) e chiaramente \( e^{it} \) sta sul bordo di \( \mathbb{D} \) e rispettivamente \( f(z) \) con \( z \in \mathbb{R} \) sta sul bordo di \( \mathbb{H} \), mentre non capisco come mai \( e^{it/2} \) si trasforma in \( e^{i \pi/4}\), difatti \( e^{it/2} \) sta sulla normale uscende dal bordo mentre la normale uscente in \( \mathbb{H} \) è \( e^{- i \pi/2}\).

[dissonance]

Pertanto con \( r \leq 1 \), e ponendo \( g(re^{it})= f(re^{it})re^{it/2} \)

Non l'ho definita solo sul bordo

Ah è vero. Ma la funzione \(re^{it}\mapsto r e^{it/2}\) è analitica? Tu sei proprio sicuro? Secondo me no. Quella è la determinazione principale della radice quadrata, che non è continua sulla semiretta dei reali negativi. È questo il problema che ho sempre visto nel tuo approccio iniziale.

[3m0o]

Ah è vero. Ma la funzione \( re^{it}\mapsto r e^{it/2} \) è analitica? Tu sei proprio sicuro? Secondo me no. Quella è la determinazione principale della radice quadrata, che non è continua sulla semiretta dei reali negativi. È questo il problema che ho sempre visto nel tuo approccio iniziale.

Mi ero dimenticato:

Sia \(z \mapsto f(z)=z^{1/2} \) abbiamo che
\[ \oint_{D(0,R)} f(z) dz= \int_{0}^{2 \pi} iRe^{it} Re^{it/2} dt = iR^2 \int_{0}^{2 \pi}e^{3it/2} dt = -\frac{4R^2}{3} \neq 0\]
Per morera concludiamo che non è analitica!
Avevi ragione.