Teorema centrale limite e distribuzione campionaria - Dubbi

[studentousen]

Studiando statistica, viene fuori che nello studio dell'andamento di una variabile in un campione, a prescindere dal fatto che questo provenga o meno da una popolazione in cui tale variabile è distribuita gaussianamente, la distribuzione campionaria tenderà ad una gaussiana per n->INF. E ciò deriva dal teorema del limite centrale.

In altre parole, se ho capito bene, la distribuzione campionaria tenderà ad una gaussiana (al di là della distribuzione della popolazione) se n è sufficientemente grande (ci sono varie convenzioni in tal senso, o per n>30 o per n>100 a seconda del manuale). Ora però mi sorge il dubbio di aver sempre frainteso il concetto di distribuzione campionaria. In pratica, mettiamo che io voglia studiare la distribuzione dell'altezza nei maschi italiani e questa non segue una distribuzione gaussiana, simmetrica ecc. Con una distribuzione campionaria con n>30, X≃(mu, sigma). Ma cosa si intende per distribuzione campionaria, ad esempio con n=30?
Io intendevo la distribuzione campionaria così:

Ad esempio, io ho un campione di 3 ragazzi con 3 altezze associate: X1=175 cm, X2=180 cm, X3=190 cm
La distribuzione campionaria allora contiene in sé tutte le medie possibili in questo campione: X1+X2+X3/3, X1+X2/2, X1+X3/2, X2+x3/2.


Quindi, avevo inteso che, se prendo un campione di almeno 30 persone, la distribuzione che contiene in sé tutte le medie possibili all'interno di tale campione, tenderà ad una distribuzione normale, nonostante la distribuzione della popolazione dei maschi italiani non è simmetrica.
Da altri esempi online mi era parso invece di intendere quella n>30 come, un campione contenente almeno 30 medie dei valori di altrettanti campioni. Quindi, se ho un campione con un numero n sufficientemente grande di n medie provenienti da n campioni, posso approssimare la distribuzione a una normale. Qualcuno riuscirebbe a chiarirmi le idee su n, la distribuzione campionaria e il teorema del limite centrale in generale?

[ghira]

Studiando statistica, viene fuori che nello studio dell'andamento di una variabile in un campione, a prescindere dal fatto che questo provenga o meno da una popolazione in cui tale variabile è distribuita gaussianamente, la distribuzione campionaria tenderà ad una gaussiana per n->INF. E ciò deriva dal teorema del limite centrale.

Non è vero per qualsiasi distribuzione. Non vale per la distribuzione di Cauchy, per esempio.

[markowitz]

Studiando statistica, viene fuori che nello studio dell'andamento di una variabile in un campione, a prescindere dal fatto che questo provenga o meno da una popolazione in cui tale variabile è distribuita gaussianamente, la distribuzione campionaria tenderà ad una gaussiana per n->INF. E ciò deriva dal teorema del limite centrale.

Non è vero per qualsiasi distribuzione. Non vale per la distribuzione di Cauchy, per esempio.

In realtà il problema è di portata molto più generale. Stando, alla lettera, a quello che scrive studentousen, l'affermazione è falsa. La "distribuzione campionaria" al crescere della dimensione del campione, e sotto l'ipotesi di estrazioni iid che non è un dettaglio trascurabile, tende a distribuirsi come la vera distribuzione generativa. Il TLC non ha alcun ruolo in proposito.

[ghira]

In realtà il problema è di portata molto più generale. Stando, alla lettera, a quello che scrive studentousen, l'affermazione è falsa. La "distribuzione campionaria" al crescere della dimensione del campione, e sotto l'ipotesi di estrazioni iid che non è un dettaglio trascurabile, tende a distribuirsi come la vera distribuzione generativa. Il TLC non ha alcun ruolo in proposito.

Immaginavo stesse parlando della distribuzione della media del campione, anche se, sì, non è questo che ha detto.