Aletzunny ha scritto:Grazie per questa strategia... però continuo a non capire il metodo utilizzato in classe
Per determinare la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$ bisogna farsi guidare dalla teoria studiata, dobbiamo trovare i trasformati dei vettori della base e successivamente le componenti rispetto alla base $B$.
$f(1)=f(0x^3+0x^2+0x+1)=(0+0+0)x^3+(0+0+1)x^2+(0+0+1)x+(0+0+0+2)1=x^2+x+2$
A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^2+x+2$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(2,1,1,0)$ perchè $2\cdot1+1\cdotx+1\cdotx^2+0\cdotx^3=x^2+x+2$. Quindi $(2,1,1,0)$ sarà la prima colonna.
$f(x)=f(0x^3+0x^2+1x+0)=(0+0+1)x^3+(0+1+0)x^2+(0+1+0)x+(0+0+2+0)1=x^3+x^2+x+2$
A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^3+x^2+x+2$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(2,1,1,1)$ perchè $2\cdot1+1\cdotx+1\cdotx^2+1\cdotx^3=x^3+x^2+x+2$. Quindi $(2,1,1,1)$ sarà la seconda colonna.
$f(x^2)=f(0x^3+1x^2+0x+0)=(0+1+0)x^3+(1+0+0)x^2+(0+0+0)x+(0+1+0+0)1=x^3+x^2+1$
A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^3+x^2+1$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(1,0,1,1)$ perchè $1\cdot1+0\cdotx+1\cdotx^2+1\cdotx^3=x^3+x^2+1$. Quindi $(1,0,1,1)$ sarà la terza colonna.
$f(x^3)=f(1x^3+0x^2+0x+0)=(1+0+0)x^3+(0+0+0)x^2+(1+0+0)x+(1+0+0+0)1=x^3+x+1$
A questo punto ci chiediamo quali sono le componenti del vettore $x^3+x+1$ rispetto alla base $B={1,x,x^2,x^3}$. Mi sembra ovvio che siano $(1,1,0,1)$ perchè $1\cdot1+1\cdotx+0\cdotx^2+1\cdotx^3=x^3+x+1$. Quindi $(1,1,0,1)$ sarà la quarta colonna.
Spero di essere stato chiaro.