Opposto di un numero in Zn

[AlexanderSC]

Buongiorno,

Nelle equaz. di I grado in un insieme Zn, c'è la sezione dove bisogna trovare l'opposto di un numero, per trovare l'incognita x.

Ad esempio:

\( 181x = 4 \) in \( (Mod 637) \)

La sua identità di Bezòut è:

\( 1 =181(-183) + 637(52) \)

A questo punto io, erroneamente prendevo 183 come opposto di 181.

Quindi \( X = 4×183 \) .

Però il risultato non veniva.

Ho visto le soluzioni, e dopo il risultato di Bezòut, il testo prendeva 454 come inverso di 181 in Z(637).

Qualcuno mi può spiegare il passaggio logico, usando anche l'esempio fornito nella spiegazione?

Grazie mille

[luca69]

L'opposto di $\bar x \in ZZ_n$ è quell'$\bar y in ZZ_n$ tale che $\bar x + \bar y = \bar 0$ (le barre indicano la classe di equivalenza); ma per definizione di somma tra elementi di $ZZ_n$, è $\bar x + \bar y = \overline{x+y}$, e $overline{x+y}=\bar 0 \Leftrightarrow x + y \equiv 0 mod n \Leftrightarrow$ (per $x,y \in \{0,...,n-1\}$) $y=n-x$: cioè, $y$ è il "complemento a $n$ di $x$". Quindi, se non sbaglio, l'opposto di $181$ in $ZZ_{637}$ è $456$ (mentre $454$ è l'opposto di $183$).

[AlexanderSC]

Ok, dal punto di vista dell'applicazione non ho più dubbi.
Dal lato di vista teorico però . . .

Non stavamo cercando l'opposto di 181(Cioè 181^(-1)), per trovarci l'incognita? Se il suo inverso effettivamente è 456, allora perché non prendiamo quello?

X = 4 * 181^(-1)

Invece l'esercizio si prende 454.

X = 4*454

Un'altra cosa che non mi quadra si trova nel secondo "sse".

X + Y congruo 0 (mod n)
Sse
Y = n - X

Sò "X+Y congruo 0 (modn)" implica che n divide sia "X+Y" che "0", e di conseguenza: " X+Y - 0 = n*t ".
A questo punto scambiando le posizioni ci ritroviamo con Y = n*t - X.

Nel tuoi sse la " t " però non c'è, e mi stavo chiedendo il perché.
Sento che se capirò queste due cose i miei problemi spariranno, anche perché la tua spiegazione è stata molto soddisfacente a meno di questi due dubbi personali.

[luca69]

Per il secondo punto, considera che $x$ e $y$ sono compresi tra $0$ e $n-1$.

[AlexanderSC]

Giustissimo, non è possibile per loro raggiungere un multiplo di n che non sia n stesso!

Probabilemente non mi hai risposto perché è una sciocchezza, ma per il primo punto invece?

[luca69]

No, no. È che non conosco bene Bezout né le equazioni congruenziali, per cui non ti posso al momento essere utile lì. Magari tra qualche giorno, se nel frattempo non avrai già risolto. Ciao

[luca69]

Aspetta. Per il tuo problema è rilevante l'inverso moltiplicativo, non l'opposto additivo. Dimentica quello che ti detto (almeno per questo problema). Scusami.

[AlexanderSC]

Uhm, colpa mia che non me ne sono accorto, ma alla fine basterebbe cambiare il simbolo addittivo con quello moltiplicativo e quello dell'elemento neutro 0 con quello dell'elemento neutro 1.
(Mi riferisco a X*Y = 1 (mod n)).

Vedrò se in aula riesco a trovare una risposta, grazie mille per il tuo tempo comunque :^)

[gugo82]

Da Bezout segue che il reciproco di $bar(181)$ è $bar(-183)$; ma evidentemente, $bar(-183) = bar(637 - 183) = bar(454)$, quindi…

[AlexanderSC]

Uhm, già quella è l'applicazione pratica che ho colto.
Ora che ci penso, non è che c'è una differenza fra "reciproco" e "opposto"/"inverso"?