Non è vero che "mi limito a calcolare il perimetro minimo" ma è vero che non dico quall è il triangolo inscritto con tale perimetro, (cioè non dico dove stanno i suoi vertici sui lati del dato triangolo [acutangolo] .axpgn ha scritto:@Erasmus_First
[...] tu ti "limiti" a calcolare il perimetro minimo senza però dire qual è il triangolo inscritto dal perimetro
Ma mi pare che è prroprio questo il bello della mia soluzione!
Trovo infatti le lunghezze dei lati del triangolino ignorando dove stanno i vertici (i quali vanno a posizionarsi "spontaneamente" dove la tensione dell'elasstico viene ad essere la minima possibile
Ma ho altro da ridire a riguardo di questa tua critica (pardon; tuo giusto rilievio] ... e lo metto dentro a "spoiler".
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il fatto è che la versione del quiz passato in "Rudi Mathematici" chiedeva proprio soltanto quanto valesse il perimetro del triangolo a perimetro minimo inscritto in un trìangolo di lati lunghi rispettivamente 17, 25, 26. Naturalmente il quiz meritava una generalizzazione, soprattutto per il fatto che l'idea dell'elastico m'è venuta per prima, per cui la risposta numerica l'ho calcolata come applicazione della suluzione generalizzata (per un triangolo acutangolo di lati di lunghezza [simbolica] a, b e c)
Però ... nel testo che ho messo in spoiler c'è spiegato un po' tutto, e cioè:
• che i tre triangolini con un vertice in comune col triangolone ABC ono tutti simili a questo;
• che i due angoli di inclinazione di due lati dell'elastico sul lato di ABC nel quale hanno un estremo comune sono uguali all'angolo opposo a quel lato di ABC;
• che in ciascuno dei tre triangolini simili al triangolone il lato costituito dall'elastico è ricavabile dal lato che in ABC è opposto all'angolo in comune moltiplicandolo per il coseno di quell'angolo
• e (in fine) che dalla similitudine di tre triangoli col triangolone si ricavano facilmente TUTTE le lunghezze dei 9 segmenti.
Per esempio, considerando (nella mia figura che ripeto):
che le inclinazione di FE e di FD su AB valgono γ (cioè quanto l'angolo opposto ad AB, quello in C), iccome – come ho detto –
$u = a·cos(α)$ e $v= b·cos(β)$,
viene per forza
FA=$b·cos(α)$ e BF[/Ii= $a·cos(β)$.
Guarda caso, questi valori sono proprio le proiezioni ortogonali dei latt di lunghezza [i]b ed a su quello di lunghezza c,
In altre parole F è il piede delll'altezza di ABC relativa ad AB su AB stesso.
[Analogamente si dica per D ed E].
Insomma: dove stanno i vdertici di DEF non l'ho detto perché pensavo che non fosse richiesto. Ma da quanto si trova col metodo dell'elastico risulta subito (proprio in base a quanto ho detto esplicitamente).
Da notare che, come è indicato nella figura (in cui, come al solito, i simboli x, y e z rappresentano incognite), prima di calcolare le lunghezze u, v e w, bisogna venir a conoscere
x = AF, y = BD e z = CE
che dànno i rapporti di proporzione rispettivamente di AEF, DBF e DEC con ABC.
Insomma: dove stanno i vertici D, E e F non è detto esplicitamente; ma tra le righe è detto quanto valgono i 6 segmenti individuati suui lati di ABC fdai vertici di DEF.
Però ... nel testo che ho messo in spoiler c'è spiegato un po' tutto, e cioè:
• che i tre triangolini con un vertice in comune col triangolone ABC ono tutti simili a questo;
• che i due angoli di inclinazione di due lati dell'elastico sul lato di ABC nel quale hanno un estremo comune sono uguali all'angolo opposo a quel lato di ABC;
• che in ciascuno dei tre triangolini simili al triangolone il lato costituito dall'elastico è ricavabile dal lato che in ABC è opposto all'angolo in comune moltiplicandolo per il coseno di quell'angolo
• e (in fine) che dalla similitudine di tre triangoli col triangolone si ricavano facilmente TUTTE le lunghezze dei 9 segmenti.
Per esempio, considerando (nella mia figura che ripeto):
che le inclinazione di FE e di FD su AB valgono γ (cioè quanto l'angolo opposto ad AB, quello in C), iccome – come ho detto –
$u = a·cos(α)$ e $v= b·cos(β)$,
viene per forza
FA=$b·cos(α)$ e BF[/Ii= $a·cos(β)$.
Guarda caso, questi valori sono proprio le proiezioni ortogonali dei latt di lunghezza [i]b ed a su quello di lunghezza c,
In altre parole F è il piede delll'altezza di ABC relativa ad AB su AB stesso.
[Analogamente si dica per D ed E].
Insomma: dove stanno i vdertici di DEF non l'ho detto perché pensavo che non fosse richiesto. Ma da quanto si trova col metodo dell'elastico risulta subito (proprio in base a quanto ho detto esplicitamente).
Da notare che, come è indicato nella figura (in cui, come al solito, i simboli x, y e z rappresentano incognite), prima di calcolare le lunghezze u, v e w, bisogna venir a conoscere
x = AF, y = BD e z = CE
che dànno i rapporti di proporzione rispettivamente di AEF, DBF e DEC con ABC.
Insomma: dove stanno i vertici D, E e F non è detto esplicitamente; ma tra le righe è detto quanto valgono i 6 segmenti individuati suui lati di ABC fdai vertici di DEF.
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