Ciao a tutti! Sono nuovo in questo forum. A causa di motivi familiari ho deovuto assentrmi per un certo periodo dagli studi universitari, carriera universitaria tra l'altro iniziata a ottobre (Matematica a Pavia). Sto facendo di tutto per rimettermi al pari dei miei colleghi, ma le matrici non mi vanno proprio a genio.
Ho la seguente affermazione della quale devo dire se è vera o falsa. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate \(n \times n\) su \(k\). Se \(AB\) è invertibile, allora lo è pure \(A\). Bounus che mi do: e \(B\)?
Allora, alla matrice \(AB\) è associata l'applicazione lineare \(F_{AB} : k^n \to k^n\), e l'invertibilità di \(AB\) si traduce nell'invertibilità funzionale, e quindi nella biettività. Dalla teoria degli insiemi, so che se \(F_{AB}=F_AF_B\) è biunivoca, allora \(F_A\) è suriettiva e \(F_B\) è iniettiva. Per il teorema delle dimensioni \[\ker A = \ker F_A=n -\text{rk} A=n -n=0\] cioè \(F_A\) è pure iniettiva. Quindi \(F_A\) è invertibile, e \(A\) invertibile. Sarei portato nuovamente a concludere similemente a prima e usando il teorema delle dimensioni, che \(\text{rk}B=n\) e quindi \(B\) è invertibile. Giusto?