Esercizio di topologia

Messaggioda Lebesgue » 18/11/2019, 11:04

Ciao a tutti, ho dei problemi con il seguente esercizio di topologia:
Siano in \(\displaystyle A,B,C\in\mathbb{R}^3 \) gli insiemi definiti da:
\(\displaystyle A=\{(x,y,z)|x^2+y^2=1\}, B=A\cap\{z=0\}, C=\{(x,y,z)|x^2+y^2=z^2\} \).
Mostrare che A/B è omeomorfo a C. (poichè non mi dà il simbolo \sim, indico con - la relazione di equivalenza)
So che A/B è lo spazio quoziente A/$- $ dove $-$ è una relazione di equivalenza tale che:
$\forall a,a'\in A, a- a'\Leftrightarrow a=a'\mbox{oppure } a,a'\in B$.
Per costruire un omeomorfismo da A/B in C, basta costruire $f:A\to C$ identificazione che mi induce su A la relazione $-$ voluta, in questo modo $\bar f$:A/$- to$ C è l'omeo cercato. ($\bar f=f°\pi^-1$)
Ho pensato di costruire $f:A\to C$ nel seguente modo: $\forall (x,y,z)\in A, \ f(x,y,z)=(zx,zy,z)$
$f$ è sicuro continua (perchè lo sono le componenti) ed è surgettiva. Per vedere che è una identificazione, mi basta vedere che è aperta e/o chiusa, ma non so bene come procedere...
Lebesgue
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 98 di 103
Iscritto il: 27/04/2018, 12:03

Re: Esercizio di topologia

Messaggioda arnett » 18/11/2019, 14:10

Per prima cosa dovresti chiederti se è una cosa che puoi fare componente per componente: il prodotto di mappe aperte è aperto? il prodotto di mappe chiuse?

Una componente è palesemente sia aperta che chiusa, le altre due non molto, ma confido che con un noioso ragionamento di tipo $\epsilon-\delta$ si possa risolvere.
"ci scruta poi gira se ne va"
arnett
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1208 di 1233
Iscritto il: 18/07/2018, 08:08

Re: Esercizio di topologia

Messaggioda Lebesgue » 18/11/2019, 15:20

arnett ha scritto:Per prima cosa dovresti chiederti se è una cosa che puoi fare componente per componente: il prodotto di mappe aperte è aperto? il prodotto di mappe chiuse?

Una componente è palesemente sia aperta che chiusa, le altre due non molto, ma confido che con un noioso ragionamento di tipo $\epsilon-\delta$ si possa risolvere.


In questo caso direi di si, poichè una base della topologia di $\mathbb{R}^3$ è data dal prodotto di 3 basi della topologia di $\mathbb R$. Quindi se tutte le componenti di una mappa continua sono aperte e continue, direi che la mappa totale è aperta (risp. chiusa).

La componente aperta e chiusa è $z$, poichè lì sopra la mia $f$ è l'identità (tra spazi con la stessa topologia).
Quindi basta far vedere che (ad esempio) la componente su $x$ è aperta (poi su $y$ è analogo)

Ah poi ovviamente questo ragionamento va adattato al mio caso, vedendo $A,C$ come sottospazi di $\mathbb R^3$ e quindi gli aperti di $A$ sono $A\cap U$ con $U$ aperto di $\mathbb R^3$ (analogo con C)


EDIT: la risposta alla domanda è il seguente Lemma che mi era sfuggito:
Se $f_i:X_i\to Y_i, \ i=1,...,n$ sono identificazioni, allora $f=f_1\times...\times f_n:\prod_i X_i\to \prod_i Y_i$ è continua e surgettiva.
Se inoltre $f_i$ è aperta per ogni i, allora anche f è aperta e quindi è una identificazione
Lebesgue
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 99 di 103
Iscritto il: 27/04/2018, 12:03

Re: Esercizio di topologia

Messaggioda arnett » 18/11/2019, 21:52

Il prodotto di mappe aperte è aperto, quello di mappe chiuse in generale no.
"ci scruta poi gira se ne va"
arnett
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 1209 di 1233
Iscritto il: 18/07/2018, 08:08

Re: Esercizio di topologia

Messaggioda vict85 » 19/11/2019, 00:09

Ma \(A\) e \(C\) non sono omeomorfi. Sono \(A/B\) e \(C\) ad esserlo. La dimostrazione dovrebbe fare riferimento a \(B\) da qualche parte, non pensi?
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 9990 di 10017
Iscritto il: 16/01/2008, 00:13
Località: Berlin

Re: Esercizio di topologia

Messaggioda Lebesgue » 19/11/2019, 11:26

vict85 ha scritto:Ma \(A\) e \(C\) non sono omeomorfi. Sono \(A/B\) e \(C\) ad esserlo. La dimostrazione dovrebbe fare riferimento a \(B\) da qualche parte, non pensi?


Ti consiglio di rileggere bene quello che ho scritto: non ho mai detto che A e C fossero omeomorfi, bensì che se trovo una identificazione $f:A\to C$ che induce su $A$ la relazione di equivalenza $-$ tale che A/$-$=A/B, allora $f$ mi induce un omeomorfismo tra $A/B$ e $C$ (che è quello che voglio).
Anzi, l'esercizio chiede anche di dimostrare che $A,C$ non sono omeomorfi (non ci ho ancora pensato bene, ma credo si possa usare un qualche argomento di connessione)
Lebesgue
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 100 di 103
Iscritto il: 27/04/2018, 12:03

Re: Esercizio di topologia

Messaggioda Lebesgue » 19/11/2019, 11:28

arnett ha scritto:Il prodotto di mappe aperte è aperto, quello di mappe chiuse in generale no.


si si, infatti è praticamente quello che dice il Lemma che ho citato
Lebesgue
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 101 di 103
Iscritto il: 27/04/2018, 12:03

Re: Esercizio di topologia

Messaggioda Lebesgue » 01/12/2019, 15:05

Lebesgue ha scritto:Ciao a tutti, ho dei problemi con il seguente esercizio di topologia:
Siano in \(\displaystyle A,B,C\in\mathbb{R}^3 \) gli insiemi definiti da:
\(\displaystyle A=\{(x,y,z)|x^2+y^2=1\}, B=A\cap\{z=0\}, C=\{(x,y,z)|x^2+y^2=z^2\} \).
Mostrare che A/B è omeomorfo a C. (poichè non mi dà il simbolo \sim, indico con - la relazione di equivalenza)
So che A/B è lo spazio quoziente A/$- $ dove $-$ è una relazione di equivalenza tale che:
$\forall a,a'\in A, a- a'\Leftrightarrow a=a'\mbox{oppure } a,a'\in B$.
Per costruire un omeomorfismo da A/B in C, basta costruire $f:A\to C$ identificazione che mi induce su A la relazione $-$ voluta, in questo modo $\bar f$:A/$- to$ C è l'omeo cercato. ($\bar f=f°\pi^-1$)
Ho pensato di costruire $f:A\to C$ nel seguente modo: $\forall (x,y,z)\in A, \ f(x,y,z)=(zx,zy,z)$
$f$ è sicuro continua (perchè lo sono le componenti) ed è surgettiva. Per vedere che è una identificazione, mi basta vedere che è aperta e/o chiusa, ma non so bene come procedere...



Ecco la SOLUZIONE: la mappa è chiusa e non aperta, per vederlo ci sono almeno due modi:

modo 1) la mappa è propria (ovvero preimmagine di compatti è compatta). A questo punto ricordiamo che se $f:X\to Y$ continua è propria e $Y$ è localmente compatto (in realtà basta compattamente generato), allora $f$ è chiusa.

modo 2) dividiamo $A$ in due insiemi: $A_0=\{|z|\le1\}$, $A_1=\{|z|\ge1\}$.
Allora $A=A_0\cup A_1$ e, preso $Z\subseteq A$ chiuso, lo decompongo come: $Z=(Z\cap A_0)\cup(Z\cap A_1)$ e quind vado a vedere $f(Z):$ poichè $0\notin A_1$, $f|_(A_1)$ è un omeomorfismo con l'immagine in $C$ e quindi è chiusa. Invece $f|_(A_0)$ è chiusa perchè continua da un compatto ad un Hausdorff.
Allora $f(Z\cap A_0)$ è chiuso in C, mentre $f(Z\cap A_1)$ è chiuso in $C_1=\{|z|\ge1\}$.
Ora $C_1$ è chiuso in C e ricordiamo che $X$ chiuso in $Y$ chiuso in $Z$ implica $X$ chiuso in $Z$, quindi $f(Z\cap A_1)$ è chiuso in C.
Quindi $f(Z)$ è unione di due chiusi di $C$ e quindi è chiuso in $C$, cioè $f$ è chiusa, quindi identificazione, quindi induce l'omeomorfismo cercato.

La mappa non è aperta perchè ho problemi con l'origine: dato un intorno di 0 in A, la sua immagine non copre un intero intorno di 0 in C
Lebesgue
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 102 di 103
Iscritto il: 27/04/2018, 12:03


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: marco2132k e 17 ospiti