Ciao dome88,
dome88 ha scritto:Cioè c'è qualche interpretazione geometrica o grafica?
Beh sì...
Tanto per fissare le idee prendiamo in considerazione il caso $n = 2 $, gli altri si possono trattare analogamente: negli integrali doppi può capitare che le variabili "originali" $(x,y)$ rendano il calcolo dell'integrale piuttosto laborioso e ci sia l’esigenza di effettuare un cambiamento di variabili in un nuovo sistema di coordinate $(u,v)$ che semplifichi le cose. Una trasformazione di coordinate è un particolare esempio di funzione $\mathbf{F}:\RR^n \to \RR^n $, dove lo spazio di partenza e quello di arrivo hanno la stessa dimensione, nel caso in esame bidimensionale o 2-D.
In $\RR^2 $ si ha:
$\mathbf{F}:\RR^2 \to \RR^2 $
$(x,y) \mapsto (f_1(x, y), f_2(x,y)) $
Se $A$ è un insieme aperto di $\RR^2 $ e si indica con $\Phi : A \sub \RR^2 \to \RR^2 $ una funzione che realizza il cambiamento di coordinate, ossia
$\Phi : A \to \RR^2 $
$(u,v) \mapsto (x(u,v),y(u,v)) \qquad u,v \in A $
e si suppone che $\Phi $ sia biunivoca tra $A $ e $\Phi(A) $ e che le sue componenti $x(u,v) $ e $y(u,v) $ siano continue con derivate parziali continue in $A$ ed inoltre si introduce la matrice jacobiana di $\Phi $ avente per righe i gradienti delle componenti $x(u,v), y(u,v) $ di $\Phi $, cioè
$J_{\Phi(u,v)} = [[\nabla x(u,v)],[\nabla y(u,v)]] = [[(\del x)/(\del u),(\del x)/(\del v)],[(\del y)/(del u),(\del y)/(\del v)]] $
e poi si indica con $det[J_{\Phi(u,v)}] = (\del(x,y))/(\del(u,v)) $ il suo determinante che si suppone non nullo $\AA (u,v) \in A$, allora se $D$ è misurabile e $f$ è integrabile in $D$ si può dimostrare che si ha:
$\int\int_D f(x,y) \text{d}x \text{d}y = \int\int_{\Phi^{-1}(D)} f(x(u,v), y(u,v))|(\del(x,y))/(\del(u,v))| \text{d}u \text{d}v$
Se ci pensi quest'ultima formula è analoga a quella dell’integrazione per sostituzione vista per le funzioni di una variabile:
$\int_a^b f(x)\text{d}x = \int_{t_a = \varphi^{-1}(a)}^{t_b = \varphi^{-1}(b)} f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) \text{d}t $