Lebesgue ha scritto:Ciao a tutti, ho dei problemi con il seguente esercizio di topologia:
Siano in \(\displaystyle A,B,C\in\mathbb{R}^3 \) gli insiemi definiti da:
\(\displaystyle A=\{(x,y,z)|x^2+y^2=1\}, B=A\cap\{z=0\}, C=\{(x,y,z)|x^2+y^2=z^2\} \).
Mostrare che A/B è omeomorfo a C. (poichè non mi dà il simbolo \sim, indico con - la relazione di equivalenza)
So che A/B è lo spazio quoziente A/$- $ dove $-$ è una relazione di equivalenza tale che:
$\forall a,a'\in A, a- a'\Leftrightarrow a=a'\mbox{oppure } a,a'\in B$.
Per costruire un omeomorfismo da A/B in C, basta costruire $f:A\to C$ identificazione che mi induce su A la relazione $-$ voluta, in questo modo $\bar f$:A/$- to$ C è l'omeo cercato. ($\bar f=f°\pi^-1$)
Ho pensato di costruire $f:A\to C$ nel seguente modo: $\forall (x,y,z)\in A, \ f(x,y,z)=(zx,zy,z)$
$f$ è sicuro continua (perchè lo sono le componenti) ed è surgettiva. Per vedere che è una identificazione, mi basta vedere che è aperta e/o chiusa, ma non so bene come procedere...
Ecco la SOLUZIONE: la mappa è chiusa e non aperta, per vederlo ci sono almeno due modi:
modo 1) la mappa è propria (ovvero preimmagine di compatti è compatta). A questo punto ricordiamo che se $f:X\to Y$ continua è propria e $Y$ è localmente compatto (in realtà basta compattamente generato), allora $f$ è chiusa.
modo 2) dividiamo $A$ in due insiemi: $A_0=\{|z|\le1\}$, $A_1=\{|z|\ge1\}$.
Allora $A=A_0\cup A_1$ e, preso $Z\subseteq A$ chiuso, lo decompongo come: $Z=(Z\cap A_0)\cup(Z\cap A_1)$ e quind vado a vedere $f(Z):$ poichè $0\notin A_1$, $f|_(A_1)$ è un omeomorfismo con l'immagine in $C$ e quindi è chiusa. Invece $f|_(A_0)$ è chiusa perchè continua da un compatto ad un Hausdorff.
Allora $f(Z\cap A_0)$ è chiuso in C, mentre $f(Z\cap A_1)$ è chiuso in $C_1=\{|z|\ge1\}$.
Ora $C_1$ è chiuso in C e ricordiamo che $X$ chiuso in $Y$ chiuso in $Z$ implica $X$ chiuso in $Z$, quindi $f(Z\cap A_1)$ è chiuso in C.
Quindi $f(Z)$ è unione di due chiusi di $C$ e quindi è chiuso in $C$, cioè $f$ è chiusa, quindi identificazione, quindi induce l'omeomorfismo cercato.
La mappa non è aperta perchè ho problemi con l'origine: dato un intorno di 0 in A, la sua immagine non copre un intero intorno di 0 in C