[Ex] Una EDO

Messaggioda Bremen000 » 18/11/2019, 20:53

Sia dato il PdC

\[ \begin{cases} y'(x) = \sin( y(x) + x^2) \quad \quad & x \in \mathbb{R} \\ y(0)=0 \end{cases}. \]

Si dimostri che esiste un'unica soluzione di classe $C^{\infty}$ definita su tutto $\mathbb{R}$ e che inoltre vale
\[ y(x) >0 \quad \quad x \in (0, \sqrt{\pi}). \]
Ultima modifica di Bremen000 il 20/11/2019, 09:28, modificato 1 volta in totale.
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda anto_zoolander » 19/11/2019, 01:41

mezzo ot
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
non vorrei dire una mentulata, piuttosto esprimere una cosa di cui non sono certo, e che mi è venuta in mente leggendo questo problema.

Mi sembra che se $y'(x)=f(x,y(x))$, con $f in C^(infty)$, ammette soluzione allora $y in C^(infty)$

questo perchè $y$ è derivabile e $f$ differenziabile quindi per l'uguaglianza $y'$ è derivabile

$y''(x)=d/dx y'(x)=d/dx f(x,y(x))=nablaf(x,y(x))*(1,y'(x)):=f_1(x,y(x),y'(x))$

$f_1$ è differenziabile poiché prodotto scalare tra funzioni che sono tali

in genere poi per induzione si prova che $y^((n))=f_(n-1)(x,y(x),...,y^((n-1))(x))$ con $f_(n-1)$ differenziabile.
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda Bremen000 » 19/11/2019, 09:08

@anto: direi proprio di sì!
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda dissonance » 19/11/2019, 11:49

una mentulata :lol: :lol: :lol:

che bello il siciliano
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda Bremen000 » 19/11/2019, 12:44

Nel senso che l'esercizio è facile, che io ho scritto una cavolata o quello che ha scritto anto è facile?

EDIT: non avevo letto completamente il messaggio di anto e quindi non avevo capito nulla :D
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda anto_zoolander » 19/11/2019, 13:52

E cosa avevi letto? Era quella la parte importante :lol: :lol:
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda Bokonon » 19/11/2019, 14:39

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ci provo a modo mio...e con dubbio finale.

$y(x)$ è una funzione derivabile, continua e definita ovunque.
La funzione $sin(x)$ è $C^(oo)$
$y'(x)$ è una funzione composta di funzioni derivabili ed è definita ovunque.
Per ricorsività, $y(x)$ è $C^(oo)$
Sappiamo che $-1<=y'(x)<=1$, quindi $y(x)$ è anche lipschitziana. Il T.E.U. ci assicura quindi la sua unicità.

Dall'osservazione precedente e dal fatto che $y'(x)$ è invertibile abbiamo che:
$y(x)=arcsin[y'(x)]-x^2 rArr -pi/2<arcsin[y'(x)]<pi/2$
Quindi $y(x)>0 $ quando $x^2<arcsin[y'(x)]$
Poichè $y=x^2 >=0 rArr 0< arcsin[y'(x)]<pi/2 rArr 0<x^2<pi/2 rArr 0<x<sqrt(pi/2)$

Dato che $y(0)=0$ è facile mostrare che anche $y'(0)=y''(0)=0$, ovvero l'origine è un punto di flesso.
La vedo crescere, raggiungere un massimo e tornare a zero per $x=sqrt(pi/2)$ per poi restare sempre negativa. Perchè $0<x<sqrt(pi)$?
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda Bremen000 » 19/11/2019, 15:22

@ Bokonon,

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dunque per quanto riguarda esistenza e unicità direi che siamo anche con un approccio che definirei "inverso". Cioè tu parti subito dicendo "$y(x)$ è una funzione derivabile, continua e definita ovunque", però tecnicamente non sai nemmeno che esiste.

Qui si trattava semplicemente di notare che la EDO è del tipo
\[ y'(x) = f(y(x), x) \]
con $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ di classe $C^{\infty}$ e limitata da $1$. Questo ti garantisce esistenza globale e unicità della soluzione del PdC.

Per il resto, non so se ho capito bene ma non puoi, credo, invertire così l'equazione. Cioè metti che per $x= \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ sia $y(x) = 1000\pi$. Allora $y'(x) = 1$ ma tu scrivendo
\[ \arcsin(y'(x)) = y(x) + x^2 \]
stai scrivendo
\[ \pi/2 = 1000\pi + \pi/2 \].
Che è falso. Cioè per invertire il seno usando $\arcsin : [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ dovresti assicurarti che $y(x) + x^2 \in [-\pi/2, \pi/2]$ per ogni $x \in \mathbb{R}$ o per lo meno dove vuoi invertire.
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda gugo82 » 19/11/2019, 21:02

@ anto:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Bello il latinismo…
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Re: [Ex] Una EDO

Messaggioda Bremen000 » 22/11/2019, 00:06

Forse l'esercizio era troppo facile? Forse poco stimolante? Scire nefas.

Se fosse invece che non si riesce a risolverlo, suggerimento:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
E' immediato vedere che $y(0)=y'(0)=y''(0)=0$ e che $y'''(0)=2$. Quindi esiste un $\epsilon >0$ tale che $y(x) >0$ se $x \in (0, \epsilon)$.
Sia \( I : = \{ x >0 \mid y(x) =0 \} \). Se $I = \emptyset$, abbiamo finito. Se invece $I \ne \emptyset$, sia $x_0$ il suo minimo (c'è?). Può essere che sia $x_0 < \sqrt{\pi}$?
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