Una gallina depone $n$ uova. Ogni uovo, indipendentemente dagli altri, è fecondato con probabilità $p$. Per ogni uovo fecondato, il pulcino sopravvive (indipendentemente dalle altre uova) con probabilità $s$. Sia $N~ Bi n(n,p)$ il numero di uova fecondate e sia $X$ il numero di pulcini che sopravvivono e $Y$ il numero di pulcini che non sopravvivono (cioè $X+Y=N$).
a) Trova la distribuzione di $X$. Se $X$ ha una distribuzione nota, indica quale, indicando anche i valori degli eventuali parametri.
b) Trova le leggi marginali di $X$ e $Y$.
c) Stabilire se $X$ e $Y$ sono indipendenti.
a) Trova la distribuzione di $X$. Se $X$ ha una distribuzione nota, indica quale, indicando anche i valori degli eventuali parametri.
b) Trova le leggi marginali di $X$ e $Y$.
c) Stabilire se $X$ e $Y$ sono indipendenti.
a) La distribuzione di $X$ è una probabilità discreta condizionata al fatto che l'uovo venga fecondato:
$\mathbb(P)(X=i|N)=( (N), (i) )s^i(1-s)^(N-i)rArr (X|N)~ Bi n(N,s)$
b) Se da ogni $n$-esimo uovo deposto, fecondato con probabilità $p$, nasce e sopravvive un pulcino con probabilità $s$, significa che la probabilità che un pulcino sopravviva è $sp$. La legge marginale di $X$ è:
$\mathbb(P)(X=x)=( (n), (x) )sp^x(1-sp)^(n-x)rArr X~ Bi n(n,sp)$
E per lo stesso ragionamento:
$\mathbb(P)(Y=y)=( (n), (y) )(1-s)p^y(1-(1-s)p)^(n-y)rArr Y~ Bi n(n,(1-s)p)$
c) Qui ho difficoltà. Potreste darmi qualche suggerimento su come impostare la dimostrazione?
Grazie mille ragazzi!