Indipendenza con binomiali

[mobley]

Una gallina depone $n$ uova. Ogni uovo, indipendentemente dagli altri, è fecondato con probabilità $p$. Per ogni uovo fecondato, il pulcino sopravvive (indipendentemente dalle altre uova) con probabilità $s$. Sia $N~ Bi n(n,p)$ il numero di uova fecondate e sia $X$ il numero di pulcini che sopravvivono e $Y$ il numero di pulcini che non sopravvivono (cioè $X+Y=N$).
a) Trova la distribuzione di $X$. Se $X$ ha una distribuzione nota, indica quale, indicando anche i valori degli eventuali parametri.
b) Trova le leggi marginali di $X$ e $Y$.
c) Stabilire se $X$ e $Y$ sono indipendenti.

a) La distribuzione di $X$ è una probabilità discreta condizionata al fatto che l'uovo venga fecondato:

$\mathbb(P)(X=i|N)=( (N), (i) )s^i(1-s)^(N-i)rArr (X|N)~ Bi n(N,s)$

b) Se da ogni $n$-esimo uovo deposto, fecondato con probabilità $p$, nasce e sopravvive un pulcino con probabilità $s$, significa che la probabilità che un pulcino sopravviva è $sp$. La legge marginale di $X$ è:

$\mathbb(P)(X=x)=( (n), (x) )sp^x(1-sp)^(n-x)rArr X~ Bi n(n,sp)$

E per lo stesso ragionamento:

$\mathbb(P)(Y=y)=( (n), (y) )(1-s)p^y(1-(1-s)p)^(n-y)rArr Y~ Bi n(n,(1-s)p)$

c) Qui ho difficoltà. Potreste darmi qualche suggerimento su come impostare la dimostrazione?

Grazie mille ragazzi!

[ghira]

c) Qui ho difficoltà. Potreste darmi qualche suggerimento su come impostare la dimostrazione?

Grazie mille ragazzi!

Se una di $X$ o $Y$ è $n$ sai che l'altra deve essere 0.

[mobley]

Se una di $X$ o $Y$ è $n$ sai che l'altra deve essere 0.

Anzitutto grazie @ghira Potresti spiegarti meglio?
Io ho applicato $cov(X,Y):=\mathbb(E)[XY]-\mathbb(E)[X]\mathbb(E)[Y]$ con il prodotto tra valori attesi che si annulla per la standardizzazione, ma non riesco a trasformare opportunamente $\mathbb(E)[XY]$.

[ghira]

Potresti spiegarti meglio?

In generale $X$ potrebbe essere qualsiasi cosa fra $0$ e $n$. In generale, $Y$ potrebbe essere qualsiasi cosa fra $0$ e $n$. Ma se ti dico che $X$ è $n$, sai che $Y$ e 0. Quindi non sono indipendenti.

[mobley]

In generale $X$ potrebbe essere qualsiasi cosa fra $0$ e $n$. In generale, $Y$ potrebbe essere qualsiasi cosa fra $0$ e $n$. Ma se ti dico che $X$ è $n$, sai che $Y$ e 0. Quindi non sono indipendenti.

Giusto… Se ci sono $N$ uova fecondate e $X$ pulcini che sopravvivono, allora $N-Y$ sono quelli che non sopravvivono. Ergo, dipendenza. Per l'ennesima volta, caduto in un bicchiere d'acqua. Grazie ancora comunque @ghira