Massimi e minimi di $ sum_{i=1}^n x_i ^3 $

[amatrix]

Come affrontereste il seguente problema?

Trovare massimi e minimi locali e totali della funzione $f(mathbf(x)) = sum_{i=1}^n x_i^3 $ sotto le due condizioni:

1. $ sum_{i=1}^n x_i = 0$

2. $ sum_{i=1}^n x_i^2 = 1 $

con $ x_i \in [-1,1]$ per ogni $i=1, … , n$.

[gugo82]

Si può fare un po’ di tutto, in realtà, dai moltiplicatori di Lagrange, alle condizioni di estremo vincolato con l’hessiana sullo spazio tangente al vincolo, all’uso di disuguaglianze elementari.

Tu come hai pensato di risolvere?
Potresti trovare utile giochicchiare con i casi $n=2,3$ prima di buttarti sul caso generale.

[amatrix]

Mi ero buttato nei moltiplicatori ma sono un sacco di conti. Al che ho pensato che sicuramente ci sarebbe stata una soluzione "elementare" utilizzando le disquazioni note ma non è così banale usare quelle giuste

[gugo82]

Aspetta, allora… Parli di due condizioni, ma quali sarebbero i problemi di estremo?

Tipo, cose così:
\[
\begin{cases}
\max / \min & y = f(\mathbf{x}) \\ \text{s. v.:} & \sum_{i=1}^n x_i = 0 \\ & -1 \leq x_1, \ldots , x_n \leq 1
\end{cases} \; ?
\]

[amatrix]

Si ma così la seconda condizione non è considerata. Mi riferisco alla somma dei quadrati.

Geometricamente la zona dove devo massimizzare è l'intersezione tra un iperpiano che passa per l'origine e una ipersfera di centro (0,...,0) e raggio 1.

[gugo82]

Ah, allora devi risolvere:
\[ \begin{cases} \max / \min & y = f(\mathbf{x}) \\ \text{s. v.:} & \sum_{i=1}^n x_i = 0 \\ & \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1 \end{cases} \; ? \]
In tal caso le condizioni $-1<= x_i<=1$ sono ridondanti ed i conti sono bruttini.

Il consiglio valido resta: vedi cosa accade per $n=2,3$ e poi prova a generalizzare.