[Abstract nonsense] L'insieme vuoto

[Indrjo Dedej]

\(\newcommand\nil\varnothing\)Mmmh... vediamo un attimo quali reazioni può avere un post così. Proviamo un po'... Casomai ricalibro il tiro in fase d'opera. Partiamo dalle basi della conoscenza; questo non significa che sia più facile, ma quanto meno da cose molto familiari emerge qualcosa che può cambiare (anzi lo cambia) la visione che abbiamo delle stesse.
È meglio avvisare che verranno usate delle verità vuote. (Ma che termini... )

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C'è una pagina wiki ma è in inglese, basta cercare "vacuous truth". Praticamente sono affermazioni del tipo "per ogni \(x \in \nil\) l'oggetto ha la proprietà ...": queste non hanno motivo di essere false, perciò le si prende per vere.
Esempio: "tutti i cavalli blu sanno volare". Visto che non ci sono cavalli blu, non ho motivo di giudicare falsa una qualsiasi affermazione che parli di loro, quindi (accettando il principio del terzo escluso), è vera.

In un qualsiasi corso di Analisi 1 o Algebra Lineare sono stati introdotti dei rudimenti di insiemistica, uno tra questi è l'esotico \(\nil\), che ha la proprietà di non possedere alcun elemento: più formalmente vale \[\forall x : x \notin \nil\,.\] È talmente particolare questo oggetto che è anche unico, siccome non bastasse.

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L'unicità del vuoto non è una cosa su cui si parla molto. Per chi fosse interessato: se \(u\) e \(v\) sono due vuoti, cioè \(\forall x : x \notin u\) e \(\forall x : x \notin v\), è vero che ogni elemento di uno dei due sta nell'altro. (Verità vuote ...)

Vediamo che ha un'altra proprietà interessante per i nostri scopi... Prima però dobbiamo guardarci attorno e scegliere dove stare, non è una cosa da poco. D'altra parte dentro \(\nil\) non c'è niente. Ci mettiamo tra gli insiemi e le funzioni tra insiemi¹. In questo regno \(\nil\) ha questa caratteristica tutt'altro che banale:
\begin{equation}\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\end{equation} È una proprietà abbastanza inusuale: chi l'ha mai vista una funzione che ha come dominio il vuoto? Invero queste funzioni hanno la stessa dignità di tutte le altre funzioni! Una funzione essenzialmente è un qualcosa di questo tipo: dati due insiemi \(A\) e \(B\), una funzione dal primo insieme al secondo associa ad ogni elemento di \(A\) uno e un solo elemento di \(B\). Nella teoria degli insiemi², una funzione altro non è che un sottoinsieme \(f\) di \(A \times B\) con la caratterizzazione che per ogni \(x \in A\) esiste un'unica \(y \in B\) tale che \((x,y) \in f\). Bene, bene... Ho evidenziato il quantificatore "ogni", il quale se \(A\) è vuoto porta a una verità vuota in piena regola. Sperando di aver reso accettabile l'esistenza di funzioni con dominio vuoto, facciamo vedere che è unica la funzione della \((1)\).

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Ecco, è abbastanza un sofisma. Siano \(a : \nil \to X\) e \(b : \nil \to X\) due funzioni siffatte. Secondo la teoria degli insiemi, \(a\) e \(b\) sono due sottoinsiemi di \(\nil \times X=\nil\), ma l'unico sottoinsieme del vuoto è il vuoto: \(a\) e \(b\) sono vuoti, e quindi sono uguali. L'unicità è provata.

Siamo anche fortunati, un po' troppo. Il vuoto è proprio l'unico ad avere la proprieta \(1\): voglio dire che se un insieme \(I\) ha la proprietà\[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : I \to X\)}\,,\] allora \(I=\nil\).
Esercizio. Dimostrare il fatto appena enunciato.
Dico un po' troppo fortunati, perché l'uguaglianza in senso classico è troppo. Bisogna rilassare un po' le cose. Pure il concetto di unicità è troppo ferreo per CT. Ma ci sarà tempo per vedere ciò.

Quello che già abbiamo fatto è interessante.
Meta-esercizio. Da \[\forall x : x \notin \nil\] a \[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\] ne è passata di acqua sotto i ponti, in termini di linguaggio. Cos'è cambiato? (Vediamo cosa succede a tirare in causa il lettore in questo modo...)

(Vediamo che sviluppi può avere questa situazione...)

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Note

1. Un classicissimo esempio di categoria! Ma per ora potete fare finta di niente, il concetto di categoria verrà formalizzato per bene più tardi. ↑
2. dove tutto è praticamente un insieme ↑

[Bremen000]

Ciao! Come ti dicevo, eccomi tra i fan. L'esercizio:

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sia $I$ che soddisfa la $(1)$ (con $I$ al posto di $\emptyset$). Allora sono uniche le mappe
\[ \text{id}_I : I \to I \quad \text{id}_{\emptyset} : \emptyset \to \emptyset \quad f : I \to \emptyset \quad g : \emptyset \to I \]
ma allora deve essere $ f \circ g = \text{id}_{\emptyset}$ e $g \circ f = \text{id}_I$. Ma quindi $I$ è in bigezione con il vuoto cosa che mi dovrebbe implicare che $I = \emptyset$ per unicità del vuoto. Qualcosa del tipo
\[ x \in \emptyset \Leftrightarrow g(x) \in \emptyset. \]
Ma la roba a destra è sempre falsa e quindi lo è anche quella a sinistra.
Che fatica, non sono abituato a ste cose

Per l'ultima domanda che fai non so se ho colto bene...

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Direi che nel primo caso definiamo il vuoto in base ad una sua proprietà caratteristica come insieme (cioè usiamo la nozione di appartenenza). Nel secondo caso invece il vuoto è caratterizzato solo da come si comporta quando interagisce con gli altri insiemi.

Grazie in ogni caso per il tempo che spendi!

[gugo82]

Bene, si parte in discesa per prendere la rincorsa…

Rispondo all’ultima domanda, perché le altre mi sembrano banali.
Tra le due proposizioni cambia parecchio, non tanto a livello sintattico, quanto semantico (se così si può dire): la seconda caratterizza \(\varnothing\) (anche a me piace più questo simbolo rispetto a $emptyset$) mediante un confronto con oggetti “della stessa specie” (gli insiemi) piuttosto che mediante un confronto tra oggetti “di specie diversa” (gli elementi).
Questo problema di “speciazione” in TdI sarebbe improponibile: infatti, in TdI ogni oggetto è un insieme.

Come vado prof?

[vict85]

Esercizio:

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\(X\times \{1\} \subset X\times\mathbb{N}\) è uguale a \(X\times \{2\} \subset X\times\mathbb{N}\) solo se \(X= \emptyset\).

Riguardo al meta-esercizio, insieme affermano che \(\varnothing\) è uno strict initial object. Ovvero la prima parte equivale a dire che non esiste \( f\colon 1\rightarrow \varnothing \). Siccome \(1\) è terminale in \(\mathrm{Set}\) allora l'unico insieme \(X\) per cui esiste una funzione \( f\colon X\rightarrow \varnothing \) è \(\varnothing\) stesso (e sappiamo che si deve trattare dell'identità). Di fatto si focalizzano su due aspetti diversi dell'insieme.

[solaàl]

Uso qualche [offtopic] perché c'è qualcuno che magari vuole risolvere lo stesso problema in un altro modo? Mi sembra di aver capito che queste siano le regole?

Esiste un'unica funzione da \(\varnothing\) a \(A\) per ogni insieme \(A\):

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La definzione di funzione è questa: è una relazione, cioè un sottoinsieme di \(\varnothing\times A =\varnothing\) tale che per ogni \(x\in\varnothing\) esista un unico \(a \in A\) tale che \((x,a)\in f\); la relazione vuota è certamente l'unica che esiste in \(\varnothing\), ma è anche una funzione? La condizione per esserlo può essere riscritta come
\[
x\in \varnothing \Rightarrow \exists ! a\in A : (x,a)\in f
\] cioè come una proposizione della forma \(p \Rightarrow q\); se ora \(p\) è falsa, però, l'implicazione \(p\Rightarrow q\) è vera, perché (perlomeno in logica classica) \(p\Rightarrow q \,=\, q\lor \lnot p \,=\, q\lor\top \,=\, \top\)

Tuttavia non esiste nessuna funzione \(A \to \varnothing\), a meno che \(A\) non sia vuoto:

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Una funzione \(f : A \to \varnothing\) è tale che
\[
a\in A \Rightarrow \exists ! x\in\varnothing : (a,x)\in f
\] però adesso questo diventa \(p\Rightarrow q \,=\, q\lor \lnot p = \lnot p\) che è vera se e solo se \(p\) è falsa, ossia se e solo se non ci sono elementi in \(A\).

Per vedere che le due definizioni di insieme vuoto sono equivalenti, un verso è stato appena fatto: ossia, se assumiamo che "insieme vuoto" significa "non ha elementi", allora l'insieme vuoto ha la proprietà per cui esiste solo una funzione \(\varnothing\to A\) per ogni $A$, e nessuna \(A\to \varnothing\) quando $A$ non è vuoto.

Il viceversa è altrettanto semplice usando §1 del pdf che Indrjo mi ha consigliato di leggere qualche tempo fa: un "elemento" di un insieme $A$ si identifica a una funzione \( 1 \to A\), dove 1 è un qualsiasi singleton, ossia un insieme con un solo elemento (questa definizione sembra circolare ma non lo è: "1" è un qualsiasi insieme che abbia un unica funzione da sé in sé stesso), diciamo che l'elemento si chiama \(\{x\}\), ma potete chiamarlo come volete. Allora, se interpretiamo "\(x\in A\)" come "esiste una funzione \(x : \{x\} \to A\)", abbiamo che se \(A=\varnothing\) non esiste nessuna funzione \(\{x\} \to \varnothing\), quindi è sempre falso che \(x\in A\), quindi \(x\notin A\) per ogni $x$.

La semantica (nel senso tecnico) quindi mi sembra la stessa: le due formule hanno la stessa interpretazione.

[solaàl]

Apparentemente quindi sembra che "non avere elementi" sia equivalente a 1) avere solo una funzione da sé a ogni insieme, e 2) non avere nessuna funzione da un non vuoto a sé stessi, e non solo a 1)... Oppure la mia dimostrazione si può miglioreare??

[otta96]

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L'unicità del vuoto non è una cosa su cui si parla molto. Per chi fosse interessato: se \(u\) e \(v\) sono due vuoti, cioè \(\forall x : x \notin u\) e \(\forall x : x \notin v\), è vero che ogni elemento di uno dei due sta nell'altro. (Verità vuote ...)

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Questa cosa c'è sul Dugundji ... la prima volta che l'ho vista mi ha un po' spiazzato
Comunque se vogliamo questa è una conseguenza dell'assioma di estensionalità e del fatti che in ZF(C) non ci siano ur-elementi

chi l'ha mai vista una funzione che ha come dominio il vuoto?

Penso letteralmente chiunque abbia visto un minimo di matematica
Comunque voglio complimentarmi con te per questo primo post, non è eccessivamente spinto e introduce gradualmente il modo di pensare proprio della teoria della categorie, insomma per ora direi che stai andando bene

[Indrjo Dedej]

Bene, bene, è stato troppo facile, eh?
Procediamo un po' con calma, visto che i post sono diversi, ed hanno alcune peculiarità. Procediamo dal fondo (avrei voluto andare con ordine, ma a questo punto è meglio fare così). Riguardo al metaesercizio, beh, avete compreso che qualcosa è cambiato. In termini linguistici si passa dal parlare in termini di "insiemi e \(\in\)", mentre nel secondo in "insiemi e funzioni". Bon, linguisticamente qualcosa è cambiato, perché non nascondo il fatto che si sta cercando di abbandonare \(\in\), in favore di funzioni. Ma "sostanzialmente"? Se ci atteniamo a come ho fatto io, non si è fatto altro che definire il concetto di funzione in un linguaggio fatto di insiemi e \(\in\). In altre parole, ho nascosto \(\in\) con una funzione, ma in un certo senso soppravvive nella definizione di funzione. Se non ho capito male, solaàl voleva dire che non è che sia cambiato tantissimo. Però (ci sono sempre i "però") e se mi venisse l'idea malsana e delirante di dire "facciamo che prendiamo come primitivi il concetto di insieme e di funzione!"? Dopo tutto nella teoria degli insiemi la definizione di funzione come un particolare (sotto)insieme è solo un modo di imbrigliare il concetto di "funzione", "qualcosa che prende un input ed emette un output". E se lo volessimo lasciare "intuitivo", e dimenticarci dell'appartenenza? Non male. Ti vien fuori qualcosa di interessante. (Il pdf linkato da solaàl per esempio.) La situazione è un po' delicata e va oltre alle parole spese fino ad ora. Meglio aver fornito uno spunto, così magari suscito l'interesse. (Comunque di questa assiomatica alternativa in questa serie di discussioni non ne parleremo tanto, le mie mire sono quelle di farvi fare un po' di CT semplice semplice.)

Sì, i categoristi ce l'hanno con \(\in\)! No, dai scherzo...

Poi ci vediamo le soluzioni dell'esercizietto...

[solaàl]

Puoi decidere che la nozione primitiva è la relazione ben fondata di appartenenza, oppure dichiarare che \(x\in_A A\) significa "quella funzione \(\lfloor x\rfloor : 1 \to A\) che corrisponde a \(x\) mediante la biiezione \(\lfloor - \rfloor : A\cong \{x : 1 \to A\}\)".

Il problema, come mi avete insegnato voi, è che a volte i singoletti non bastano a distinguere gli elementi di due oggetti; è cioè possibile che esistano due oggetti \(A,B\) tali che \(x\in_A A \iff x\in_B B\) anche se \(A\neq B\)! Per esempio, prendiamo i gruppi abeliani: il gruppo zero è un "singoletto" nella definizione che ho dato sopra, perché l'unico omomorfismo di gruppi \((0) \to (0)\) è l'identità. Però adesso esiste un'unico omomorfismo anche in uscita da \((0)\)! Infatti, solo l'inclusione di \((0)\) in un gruppo abeliano \(A\) (il suo sottogruppo banale minimo) va bene come omomorfismo \((0) \to A\)...

Che cosa si può fare allora?

[Epimenide93]

prendiamo i gruppi abeliani: il gruppo zero è un "singoletto" nella definizione che ho dato sopra, perché l'unico omomorfismo di gruppi \((0) \to (0)\) è l'identità. Però adesso esiste un'unico omomorfismo anche in uscita da \((0)\)! Infatti, solo l'inclusione di \((0)\) in un gruppo abeliano \(A\) (il suo sottogruppo banale minimo) va bene come omomorfismo \((0) \to A\)...

Che cosa si può fare allora?

Ottima osservazione. Stai dicendo che il singoletto, tra gli insiemi, ha due proprietà

• guardare alle funzioni da esso ad un altro insieme permette di determinare se due insiemi sono isomorfi o no (in categorese, il singoletto è un generatore per la categoria degli insiemi),
• dato un qualsiasi insieme $A$, esiste una e solo una funzione da $A$ verso il singoletto (in categorese, il singoletto è terminale nella categoria degli insiemi).

Il fatto che sia lo stesso oggetto ad avere entrambe le proprietà, tra gli insiemi, è (circa) una coincidenza. Come osservi correttamente, il gruppo zero, tra i gruppi abeliani, è terminale (e, come ci sta facendo osservare Indrjo, è anche iniziale!). Ma anche tra i gruppi abeliani c'è un generatore, sebbene non sia il gruppo zero. Chi è?

(Nota a margine: nessuno obbliga una categoria ad avere un oggetto terminale, o un generatore; il lettore volenteroso può pensare a dei controesempi)

Sì, i categoristi ce l'hanno con \(\in\)! No, dai scherzo...

In realtà è verissimo. È dovuto al fatto che esistono contesti in cui \(\in\) non ha senso