È meglio avvisare che verranno usate delle verità vuote. (Ma che termini... )
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C'è una pagina wiki ma è in inglese, basta cercare "vacuous truth". Praticamente sono affermazioni del tipo "per ogni \(x \in \nil\) l'oggetto ha la proprietà ...": queste non hanno motivo di essere false, perciò le si prende per vere.
Esempio: "tutti i cavalli blu sanno volare". Visto che non ci sono cavalli blu, non ho motivo di giudicare falsa una qualsiasi affermazione che parli di loro, quindi (accettando il principio del terzo escluso), è vera.
Esempio: "tutti i cavalli blu sanno volare". Visto che non ci sono cavalli blu, non ho motivo di giudicare falsa una qualsiasi affermazione che parli di loro, quindi (accettando il principio del terzo escluso), è vera.
In un qualsiasi corso di Analisi 1 o Algebra Lineare sono stati introdotti dei rudimenti di insiemistica, uno tra questi è l'esotico \(\nil\), che ha la proprietà di non possedere alcun elemento: più formalmente vale \[\forall x : x \notin \nil\,.\] È talmente particolare questo oggetto che è anche unico, siccome non bastasse.
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L'unicità del vuoto non è una cosa su cui si parla molto. Per chi fosse interessato: se \(u\) e \(v\) sono due vuoti, cioè \(\forall x : x \notin u\) e \(\forall x : x \notin v\), è vero che ogni elemento di uno dei due sta nell'altro. (Verità vuote ...)
Vediamo che ha un'altra proprietà interessante per i nostri scopi... Prima però dobbiamo guardarci attorno e scegliere dove stare, non è una cosa da poco. D'altra parte dentro \(\nil\) non c'è niente. Ci mettiamo tra gli insiemi e le funzioni tra insiemi1. In questo regno \(\nil\) ha questa caratteristica tutt'altro che banale:
\begin{equation}\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\end{equation} È una proprietà abbastanza inusuale: chi l'ha mai vista una funzione che ha come dominio il vuoto? Invero queste funzioni hanno la stessa dignità di tutte le altre funzioni! Una funzione essenzialmente è un qualcosa di questo tipo: dati due insiemi \(A\) e \(B\), una funzione dal primo insieme al secondo associa ad ogni elemento di \(A\) uno e un solo elemento di \(B\). Nella teoria degli insiemi2, una funzione altro non è che un sottoinsieme \(f\) di \(A \times B\) con la caratterizzazione che per ogni \(x \in A\) esiste un'unica \(y \in B\) tale che \((x,y) \in f\). Bene, bene... Ho evidenziato il quantificatore "ogni", il quale se \(A\) è vuoto porta a una verità vuota in piena regola. Sperando di aver reso accettabile l'esistenza di funzioni con dominio vuoto, facciamo vedere che è unica la funzione della \((1)\).
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Ecco, è abbastanza un sofisma. Siano \(a : \nil \to X\) e \(b : \nil \to X\) due funzioni siffatte. Secondo la teoria degli insiemi, \(a\) e \(b\) sono due sottoinsiemi di \(\nil \times X=\nil\), ma l'unico sottoinsieme del vuoto è il vuoto: \(a\) e \(b\) sono vuoti, e quindi sono uguali. L'unicità è provata.
Siamo anche fortunati, un po' troppo. Il vuoto è proprio l'unico ad avere la proprieta \(1\): voglio dire che se un insieme \(I\) ha la proprietà\[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : I \to X\)}\,,\] allora \(I=\nil\).
Esercizio. Dimostrare il fatto appena enunciato.
Dico un po' troppo fortunati, perché l'uguaglianza in senso classico è troppo. Bisogna rilassare un po' le cose. Pure il concetto di unicità è troppo ferreo per CT. Ma ci sarà tempo per vedere ciò.
Quello che già abbiamo fatto è interessante.
Meta-esercizio. Da \[\forall x : x \notin \nil\] a \[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\] ne è passata di acqua sotto i ponti, in termini di linguaggio. Cos'è cambiato? (Vediamo cosa succede a tirare in causa il lettore in questo modo...)
(Vediamo che sviluppi può avere questa situazione...)