saso366 ha scritto:Salve
Volevo un ragguaglio su questo semplice esercizio. Devo verificare la convergenza della serie
$\sum_{n=1}^oo 1/n^2$
È errato procedere usando il criterio dell'ordine di infinetisimo?
Noto che
$\lim_{n \to \infty} 1/n^2 × n^2 =1$
Per cui $n^2$ ha ordine due (maggiore di uno) e il limite è finito. Da ciò risulta la convergenza
Non so ancora bene come applicare il criterio quindi non sono per nulla sicuro della correttezza del procedimento
Grazie in anticipo
Beh, non è errato come fatto mnemonico, ma è concettualmente sbagliato.
Infatti, il Criterio dell’Ordine è una
conseguenza del fatto che le serie armoniche generalizzate $sum 1/n^p$ hanno comportamento già noto (convergenti per $p>1$, divergenti per $p<=1$).
In altri termini, se non conoscessi il carattere delle serie armoniche generalizzate, il Criterio dell’Ordine (che è un caso particolare del Criterio di Confronto, in cui si confronta una serie arbitraria con un’opportuna serie armonica) non lo dimostreresti.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)