[Ex] Una successione a due indici

[Bremen000]

Dimostrare o confutare la seguente affermazione

Sia $\{ a_n^k \}_{n, k \ge 0} \subset [0, + \infty)$ una successione a due indici di numeri reali non negativi tale per cui vale
\[ \lim_{k \to + \infty} \limsup_{n \to + \infty} a_n^k = 0 \quad \quad \sup_{A \in \mathcal{P}} \lim_{k \to + \infty} \sup_{n \in A} a_n^k =0 \quad \quad a_n^k \ge a_n^{k+1} \, \forall \, n,k \ge 0 \]
dove $\mathcal{P}$ è la collezione dei sottoinsiemi finiti di $\mathbb{N}$.

Allora

\[ \lim_{k \to + \infty} \sup_{n \in \mathbb{N}} a_n^k =0. \]

[Bremen000]

Capisco che in effetti sembri un po' mostruoso messo così

La motivazione di questa cosa orribile è che mi sono trovato esattamente in questa situazione ma con le due sole prime ipotesi e non riuscivo a dimostrare la tesi.

Infatti la successione a due indici
\[ a_n^k = \delta_n^k = \begin{cases} 1 \quad \text{ se } n=k \\ 0 \quad \text{ altrimenti} \end{cases} \]

soddisfa le prime due ipotesi, non soddisfa la terza e non soddisfa la tesi!

Mi sono accorto che aggiungendo la terza ipotesi invece tutto funzionava!

L'esercizio era più che altro per rendervi partecipi del mio sconforto