[Abstract nonsense] L'insieme vuoto

[Indrjo Dedej]

Bon, la situazione sta prendendo definitivamente un'altra piega. Aspetta, chi ha tirato fuori l'appartenza come "funzione \(1 \to X\)"? La prossima volta sarò un pochino più severo per evitare certe "deviazioni". Sebbene il chaos possa essere molte volte costruttivo, vorrei evitare in queste sedi. Comunque sia, l'importante è aver suscitato la vostra curiosità in un modo o nell'altro: potreste leggere qualcosa in merito e, in caso di dubbi, aprire una discussione apposita.

[solaàl]

Comunque, noto che il discorso sta prendendo una piega forse inutilmente complicata. La "reinterpretazione" che Indrjo sta abilmente ottenendo per ingegneria inversa di alcune nozioni categoriali può avere, a priori, due scopi

• Guardare cosa succede in categorie familiari, ed astrarre i fenomeni in linguaggio puramente categoriale per reinterpretarli/riconoscerli altrove;
• Fare fondazioni interamente basate sulle idee della teoria delle categorie.

Ora, la prima cosa avviene interamente in ZF(C) (o, quando torna comodo, qualche sua estensione non troppo "preoccupante"), l'uso di un diverso paradigma è puramente funzionale alle diverse tecniche dimostrative applicabili una volta inseriti un paio di tool categoriali nella propria cassetta degli attrezzi.

La seconda cosa è un discorso molto più complicato, e per certi versi destinato ad essere o insoddisfacente (la teoria che si ottiene in maniera "ingenua", ETCS, non è espressiva quanto ZFC), o potenzialmente interessante ma andando a scomodare nozioni, tecniche e tecnicismi che vanno ben oltre degli interessi che possono essere "common ground matematico".

Sì, l'hai detto meglio di come lo stavo per dire io... sta diventando tutto inutilmente difficile, meglio fare esempi dalla teoria dei gruppi, no?