Integrale doppio con radice

Messaggioda Lorric » 20/11/2019, 12:10

Buongiorno mi sono imbattuto in questo integrale doppio:
Calcolare $ int int (x-y^3 + y-2)^(1/3) dx dy $ sul dominio $ D={(x,y): 0<=y<= min {x^(1/3), 2–x}} $.
Sono riuscito a semplificare il dominio e ho diviso l’integrale doppio in due integrali doppi rispettivamente con dominio $ D1= { 0<=x<=1 ; 0<=y<= x^(1/3)}$ e $ D2={ 1<=x<=2; 0<=y<= 2-x}$. Una volta a questo punto però non riesco a risolvere gli integrali, ho provato per parti perché non mi venivano altre idee ma non sono arrivato a nessun miglioramento. Grazie mille per chi mi aiuta
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Re: Integrale doppio con radice

Messaggioda pilloeffe » 21/11/2019, 01:18

Ciao Lorric,

L'integrale proposto è il seguente:

$ \int \int_D (x-y^3 + y-2)^(1/3) \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int \int_{D_1} (x-y^3 + y-2)^(1/3) \text{d}x \text{d}y + \int \int_{D_2} (x-y^3 + y-2)^(1/3) \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int_0^1 [\int_0^{x^{1/3}} (x-y^3 + y-2)^(1/3) \text{d}y] \text{d}x + \int_1^2 [\int_0^{2 - x} (x-y^3 + y-2)^(1/3) \text{d}y] \text{d}x $

Così però la faccenda si complica: prova invece ad integrare prima in $ \text{d}x $ e poi in $ \text{d}y $ visto che si ha subito $\int (x-y^3 + y-2)^(1/3) \text{d}x = 3/4 (x - y^3 + y - 2)^(4/3) + c $
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Re: Integrale doppio con radice

Messaggioda Lorric » 21/11/2019, 16:27

Hai ragione così è tutto molto più semplice, mentre se ho per esempio $ int int (x^2+y^2)/(x^2+ y^2 +2) dxdy $ con $ D= { 0<=x<=2, 0<=y<=min(sqrt(3) *x; sqrt(4-x^2)} $ ?
Ho semplificato il dominio trovando che tra $ 0<=x<=1 ; 0<=y<=sqrt(3) *x $ mentre invece con $ 1<=x<=2 ; 0<=y<= sqrt (4-x^2) $ . In questo caso integrando sia partendo da dx o dy non fa differenza, inoltre mi sembra che anche in coordinate polari non venga perché non riesco a cambiare il dominio. Come potrei fare?
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Re: Integrale doppio con radice

Messaggioda pilloeffe » 22/11/2019, 07:04

Lorric ha scritto:In questo caso integrando sia partendo da dx o dy non fa differenza, inoltre mi sembra che anche in coordinate polari non venga perché non riesco a cambiare il dominio.

Che cosa vuol dire "non riesco a cambiare il dominio"?
Invece proverei proprio con le coordinate polari, per l'integrale in $\rho $ si ha:

$\int \rho^3/(\rho^2 + 2) \text{d}\rho = \rho^2/2 - ln(\rho^2 + 2) + c $
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Re: Integrale doppio con radice

Messaggioda Lorric » 22/11/2019, 11:46

Perché da $0<=y=< sqrt(3) *x $ ottengo $ o<= theta <= (pi)/3$ però da $0<=x<=1 $ mi viene $ 0<=p<=1/ cos(theta) $ che è sempre in funzione dell’angolo.
E dalla seconda parte allo stesso modo ottengo $0<=p<=2$ con stavolta l’angolo in funzione di p: $1/p<=cos(theta )<=2/p $.
Ho difficoltà a togliere la dipendenza nel primo caso dall’angolo e nel secondo dal raggio. Sicuramente si può fare ma non saprei come
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Re: Integrale doppio con radice

Messaggioda pilloeffe » 22/11/2019, 12:28

Lorric ha scritto:[...] che è sempre in funzione dell’angolo

Non capisco quale sia il problema... Basta risolvere l'integrale definito in $\rho $ avente come estremi di integrazione $0$ e $1/(cos\theta) $, rimarrà una funzione di $\theta$ che poi va integrata fra $0$ e $\pi/3 $...
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Re: Integrale doppio con radice

Messaggioda Lorric » 22/11/2019, 13:37

Mentre per la seconda parte integro prima l’angolo e poi in p quindi...
grazie mille!
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