Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda urca » 22/11/2019, 17:19

Ciao,

apro su suggerimento di @gugo82 una nuova discussione riguardo il dubbio di cui avevo parlato nella discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=194300

Il teorema è sui limiti in più variabili:

Teorema:
Sia $F=(f_1,...,f_m)$ una funzione devinita su A contenuto in $R^n$ a valori in $R^m$, e sia $x'$ punto di accumulazione di A. Allora

$lim_(x->x')F(x)=l=(l1,...,l_m)$ se esolo se per ogni i= 1,...,m $lim x->x'f_i(x)=l_i$

Il dubbio è solo sulla (<=)

SUpponiamo che ogni $f_i$ tenda a $l_i$ per x tendente a x'. Dato $\epsilon>0$ sia $\delta_i>0$ t.c.

$x\inA\{x'}$, $||x-x'||<\delta_i => |f_i(x)-l_i|<\epsilon$

Preso $delta=min{\delta_i}$, si ha per $x\inA\{x'}$ , con $||x-x'||<\delta$;

$||F(x)-l||^2=(f_1(x)-l_1)^2+...<\epsilon^2+...+\epsilon^2=m\epsilon^2=m\epsilon^2$

Ossia: $||F(x)-l||<\sqrtm*\epsilon$ e dalla scelta arbitraria di epsilon segue la tesi.


Mi sembra quindi di partire, come dicevo nella discussione del link, da una epsilon e finire con una epsilon più grande dell'iniziale.
Ultima modifica di urca il 22/11/2019, 19:20, modificato 1 volta in totale.
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda gugo82 » 22/11/2019, 19:11

Tutto sta nell’arbitrarietà di $epsilon$ e nelle disuguaglianze che vuoi usare nelle dimostrazioni.1

Per noti fatti, la norma euclidea di $RR^m$ gode della seguente proprietà:
\[
\max_{i=1,\ldots , n} |a_i - b_i| \leq \| \mathbf{a} - \mathbf{b}\| \leq \sqrt{m}\cdot \max_{i=1,\ldots ,n} |a_i - b_i|
\]
(che viene fuori maggiorando o minorando sotto radice e tenendo presente la monotonia di quadrato e radice) e da questa ti accorgi che è possibile “controllare” la norma di un vettore “controllando” le norme di tutte le componenti e viceversa.
Quindi è la disuguaglianza giusta per provare a fare la dimostrazione che ti interessa, poiché la stessa definizione di limite esprime, in soldoni, la possibilità di controllare delle norme con quantità “piccole a piacere” intorno al punto di accumulazione considerato.

Vediamo come si fa (metto in spoiler anche se è classica):
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$=>$) Supponiamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) mathbf(f)(mathbf(x)) = mathbf(l)$ e proviamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) f_i(mathbf(x)) = l_i$ per ogni $i=1,..., m$.
Per definizione di limite, fissato arbitrariamente $epsilon >0$, esiste $delta >0$ tale che, per ogni $mathbf(x) in text(Dom)(mathbf(f)) risulti:
\[
0<\| \mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \| <\delta \ \Rightarrow\ \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{l} \| < \varepsilon\;.
\]
Scelto $i=1,...,m$, risulta:
\[
| f_i (\mathbf{x}) - l_i| \leq \max_{i=1,\ldots , n} |f_i (\mathbf{x}) - l_i| \leq \| \mathbf{f} (\mathbf{x}) - \mathbf{l}\|
\]
e perciò risulta \(0<\| \mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \| <\delta \ \Rightarrow\ |f_i (\mathbf{x}) - l_i| \leq \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{l} \| < \varepsilon\), che è quanto volevamo.

\(\Leftarrow\)) Viceversa, supponiamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) f_i(mathbf(x)) = l_i$ per ogni $i=1,..., m$ è proviamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) mathbf(f)(mathbf(x)) = mathbf(l)$.
Per ipotesi, fissato $epsilon >0$, in corrispondenza del numero positivo $epsilon/sqrt(m)$ esistono $m$ numeri $delta_1,..., delta_m >0$ tali che per ogni $mathbf(x) in text(Dom)(mathbf(f))$ risulti:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta_i\ \Rightarrow\ |f_i(\mathbf{x}) - l_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}}
\]
per ogni $i=1,..., m$, quindi preso $delta := min \{delta_1,..., delta_m\}$ le precedenti implicazioni valgono tutte contemporaneamente, ossia risulta:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \ \Rightarrow\ \begin{cases} |f_1(\mathbf{x}) - l_1|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \\ |f_2(\mathbf{x}) - l_2|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \\ \qquad \vdots \\ |f_m(\mathbf{x}) - l_m|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}}\end{cases}
\]
e perciò anche:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \ \Rightarrow\ \max_{i=1,\ldots , m} |f_i(\mathbf{x}) - l_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \; .
\]
Dunque, usando la disuguaglianza richiamata sopra, abbiamo:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta\ \Rightarrow\ \|\mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{l}\| \leq \sqrt{m}\cdot \max_{i=1,\ldots ,m} |f_i(\mathbf{x}) - l_i| < \sqrt{m}\cdot \frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} = \varepsilon
\]
come volevamo. 8-)

Note

  1. Ricorda: l’Analisi Matematica è l’arte delle disuguaglianze.
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda urca » 22/11/2019, 19:29

Ciao :) aspettavo con ansia una tua risposta per, finalmente, capirci qualcosa.

Mi sembra di capire che per ogni $\epsilon$ definisci $\epsilon'=\epsilon/\sqrtm$ e poi prendi i $\delta_(\epsilon')$ e così mi torna come ragionamento. Tuttavia nel mio caso mi sembra invece prenda i delta dipendenti da $epsilon$ e non da $epsilon'$ il che non dovrebbe comportare una palla più grande?

Infatti nella mia dimostrazione mi sembra di fissare un epsilon, fatto questo trovo vari intorni di $x_(0i)$ che verifichino $||F(x)-l||<\sqrtm*\epsilon$. Però quanto determino con $\sqrtm*\epsilon$ èsicuramente maggiore di quanto determinerei con $||F(x)-l||<\epsilon$

In generale non mi sempra che possa valere:

$AA epsilon, EE delta = delta_epsilon >0:\ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < c*epsilon$ (*)

Dovrei definire per ogni epsilon un $epsilon'=c*epsilon$ tale che $ EE delta = delta_epsilon' >0:\ AA x in X, 0 < |x - x_0| < delta => |f(x) - l| < c*epsilon=epsilon'$

Mi sembra scorretto scrivere la (*) perché potrei scegleire un controllo epsilon che stima dei delta per cui $|f(x) - l| < c*epsilon$ valga ma $|f(x) - l| < epsilon$ invece no!

E' questo che mi crea un po' di problemi nella comprensione

PS: sono tornato al caso una variabile perché in realtà il problema nasce lì, capito quello ho capito la dimostrazione sopra. Il punto è proprio capire perché la (*) abbia senso. A me pare di no :oops:
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda gugo82 » 22/11/2019, 20:39

E che te ne frega?
Appunto $epsilon$ è arbitrario!

Esercizio:
Mostrare che le proposizioni:
\[
\begin{split}
&\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad <|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon \\
&\forall \sigma > 0,\ \exists \rho > 0:\quad <|x - x_0|<\rho \Rightarrow |f(x) - l| < c\cdot \sigma \;,
\end{split}
\]
in cui $c >0$ è una costante fissata, sono equivalenti.
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda urca » 23/11/2019, 09:59

Ehm credo proprio sia quella la problematica. Non riesco a vedere perché siano equivalenti manco intuitivamente e non saprei proprio come mostrarlo.

Come dicevo preso un epsilon se risolvo: $|f(x)-l|<\epsilon$ mi sembra mi dia un intorno sulle ascisse diverso da $|f(x)-l|<\c*epsilon$.

E' proprio l'esercizio da te proposto la mia domanda, hai centrato la lacuna al primo colpo 8-)




PS:intutivamente cado in questo tranello dell'OP in cui rivedo esattamente il mio dubbio..

Se invece io partissi da epsilon sulle ordinate, torvassi un delta che dipende da essa (date dal tratteggio rosa) e poi richiedessi come passo finale $|f(x)-l|<k*ε$ beh come si vede una qualunque x che stia fuori dal range delle ordinate starà nel range $L+-k\epsilon$ che è più grande (linee gialle che stanno fuori il range iniziale di epsilon). Rovinando tutta la definizione perché il controllo epsilon sarebbe inutile e non mi "stringerebbe la funzione".

Immagine


Devo mettere apposto sia intuizione che formalità perché tutti i dubbi girano attorno a questo, se riuscissi a capire ogni problema si risolverebbe!
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda gugo82 » 23/11/2019, 11:22

Beh, ma è naturale che le ampiezze degli intorni cambino.
Il fatto è che l’ampiezza è arbitraria, quindi qualsiasi di essa prendi va bene e ciò, formalmente, si dimostra provando l’equivalenza tra le due proposizioni che citavo sopra.
Prova.
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda urca » 23/11/2019, 12:57

Ci provo sfruttando una lettura di una tua risposta fatta qualche giorno fa che per serendipità ho incontrato e cade a fagiuolo con questo dubbio https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8438453

Comunque senza divagare mi verrebbe da sfruttarla così.
Il problema è che mi si aprono due visioni:

1)
a)

$\forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\epsilon$

Questo vuol dire appunto trovare un insieme non vuoto $A_\epsilon$ il quale intersecato con le x del dominio della funzione mi dia: $|f(x) - l| <\epsilon$ Da questo prendo un intorno bucato del tipo $(x_0-\delta_epsilon,x_0+\delta_epsilon)$ il quale garantisce: $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta_epsilon => |f(x) - l| < epsilon$.

b)
Per quanto riguarda: $forall \epsilon > 0, \exists \delta_epsilon > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta_epsilon \Rightarrow |f(x) - l| < c\cdot \epsilon$

Dato che parto da $\forall \epsilon > 0$ identica a quella precedente, risolvendo: $|f(x) - l| <\epsilon$ trovo lo stesso intorno bucato e lo stesso delta di prima. E siccome $c\epsilon>epsilon$

$forall \epsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\epsilon=>|f(x) - l| < c\cdot \epsilon $

Il contrario non mi sembra in generale vero, perché seppur epsilon sia QUALUNQUE, in realtà ogni intorno che isolo con la disequazione su $epsilon$ non raggiungerà mai quella di $c\epsilon$.

2)
Vi è un secondo modo di vedere il punto b) e non capisco se questo o il precedente siano corretti: (il dubbio è se il delta vada preso in dipendenza di $epsilon$ o di $c\epsilon$)

b) Dicevamo: $ forall \epsilon > 0,\ \exists \delta_(c\epsilon) > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta(c\epsilon) \Rightarrow |f(x) - l| < c\cdot \epsilon$

Ossia se devo risolvere: $|f(x) - l| < c\cdot \epsilon $ da questa discende per i ragionamenti di cui sopra un intorno bucato di $x_0$: $(x_0-\delta_(c\epsilon),x_0+\delta_(c\epsilon))$ [ovviamente più grande di $x_0-\delta_epsilon,x_0+\delta_epsilon$ del punto a) ).
Ossia arrivo ad avere $AA x in text(Dom)(f),\ 0<|x - x_0| <delta_(c\epsilon) => |f(x) - l| < c\epsilon$

Ebbene in questa seconda visione mi sembra che io fisso un $epsilon$, risolvo la disequazione per $c*epsilon$ e ricavo un intorno più grande della disequazione su $epsilon$ (abbastanza ovvio). A questo punto mettiamo esista una $x\in (x_0-\delta_epsilon,x_0+\delta_epsilon)$ che non verifichi $|f(x) - l| < epsilon$ : questa sarebbe una non esistenza del limite. Tuttavia potrebbe, quella stessa x, verificare $|f(x) - l| < c\epsilon$ (che è più grande come intorno). E quindi questa seconda versione di limite mi sembra comprendere dei limiti che per la versione "canonica" non sarebbe vero!
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda gugo82 » 23/11/2019, 13:00

Chi ti dice che $c epsilon > epsilon$?
La costante $c$ potrebbe essere piccolissima e l’equivalenza sussisterebbe comunque.

Inoltre, lascia stare le dipendenze, ci pensi dopo.
Per questo ho usato simboli diversi nelle due proposizioni.
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda urca » 23/11/2019, 13:22

Grazie, hai ragione, figuravo un c>1 ma è una cavolata. Non è vero in generale ma un caso in cui valga potrebbe esserci :). Posso chiederti però se sia corretto il punto b1) o b2) perché non riesco a capire quale delle due strade sia da seguire. Percé gli intorni che isolo sarebbero diversi e dalla definizione non capisco quale sia quella corretta.

EDIT

In realtà anche con simboli diversi trovo lo stesso probelma nel senso che a me turba proprio la comprensione di

$\forall \sigma > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\c\sigma$


Perché come sopra non capisco se devo fare come nel punto b1)
$\forall \sigma > 0,\ \exists \delta_sigma > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta_sigma \Rightarrow |f(x) - l| <\c\sigma$

o b2)
$\forall \sigma > 0,\ \exists \delta_(csigma) > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta_(csigma) \Rightarrow |f(x) - l| <\c\sigma$

Perché questo è il primo dubbio separato dal simbolo, poi c'è l'altro dubbio (ossia mettere assieme a e b, e per quello il simbolo diverso può aiutare) :lol:
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Re: Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

Messaggioda gugo82 » 23/11/2019, 14:14

Scusa, ma non è lo stesso?

Tanto $c sigma$ dipende in maniera biunivoca da $sigma$…
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