Tutto sta nell’arbitrarietà di $epsilon$ e nelle disuguaglianze che vuoi usare nelle dimostrazioni.
\max_{i=1,\ldots , n} |a_i - b_i| \leq \| \mathbf{a} - \mathbf{b}\| \leq \sqrt{m}\cdot \max_{i=1,\ldots ,n} |a_i - b_i|
(che viene fuori maggiorando o minorando sotto radice e tenendo presente la monotonia di quadrato e radice) e da questa ti accorgi che è possibile “controllare” la norma di un vettore “controllando” le norme di tutte le componenti e viceversa.
Quindi è la disuguaglianza giusta per provare a fare la dimostrazione che ti interessa, poiché la stessa definizione di limite esprime, in soldoni, la possibilità di controllare delle norme con quantità “piccole a piacere” intorno al punto di accumulazione considerato.
$=>$) Supponiamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) mathbf(f)(mathbf(x)) = mathbf(l)$ e proviamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) f_i(mathbf(x)) = l_i$ per ogni $i=1,..., m$.
Per definizione di limite, fissato arbitrariamente $epsilon >0$, esiste $delta >0$ tale che, per ogni $mathbf(x) in text(Dom)(mathbf(f)) risulti:
\[
0<\| \mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \| <\delta \ \Rightarrow\ \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{l} \| < \varepsilon\;.
\]
Scelto $i=1,...,m$, risulta:
\[
| f_i (\mathbf{x}) - l_i| \leq \max_{i=1,\ldots , n} |f_i (\mathbf{x}) - l_i| \leq \| \mathbf{f} (\mathbf{x}) - \mathbf{l}\|
\]
e perciò risulta \(0<\| \mathbf{x} - \mathbf{x}_0 \| <\delta \ \Rightarrow\ |f_i (\mathbf{x}) - l_i| \leq \| \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{l} \| < \varepsilon\), che è quanto volevamo.
\(\Leftarrow\)) Viceversa, supponiamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) f_i(mathbf(x)) = l_i$ per ogni $i=1,..., m$ è proviamo che $lim_(mathbf(x) -> mathbf(x)_0) mathbf(f)(mathbf(x)) = mathbf(l)$.
Per ipotesi, fissato $epsilon >0$, in corrispondenza del numero positivo $epsilon/sqrt(m)$ esistono $m$ numeri $delta_1,..., delta_m >0$ tali che per ogni $mathbf(x) in text(Dom)(mathbf(f))$ risulti:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta_i\ \Rightarrow\ |f_i(\mathbf{x}) - l_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}}
\]
per ogni $i=1,..., m$, quindi preso $delta := min \{delta_1,..., delta_m\}$ le precedenti implicazioni valgono tutte contemporaneamente, ossia risulta:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \ \Rightarrow\ \begin{cases} |f_1(\mathbf{x}) - l_1|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \\ |f_2(\mathbf{x}) - l_2|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \\ \qquad \vdots \\ |f_m(\mathbf{x}) - l_m|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}}\end{cases}
\]
e perciò anche:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \ \Rightarrow\ \max_{i=1,\ldots , m} |f_i(\mathbf{x}) - l_i|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} \; .
\]
Dunque, usando la disuguaglianza richiamata sopra, abbiamo:
\[
0<\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta\ \Rightarrow\ \|\mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{l}\| \leq \sqrt{m}\cdot \max_{i=1,\ldots ,m} |f_i(\mathbf{x}) - l_i| < \sqrt{m}\cdot \frac{\varepsilon}{\sqrt{m}} = \varepsilon
\]
come volevamo.