1) Ogni spazio vettoriale ammette una bandiera massimale?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Mi sembra ovvia la cosa, ma non riesco a darne una dimostrazione. Se \( \left\{e_i\right\}_{i\in\{1,\dots,n\}} \) è una base di uno spazio \( L \) con \( \dim L = n \), allora posso costruire la bandiera \( 0\subset\langle e_1\rangle\subset\dots\subset\langle e_1,\dots,e_n\rangle \). Mi rimane solo da provare che dato un \( M\leqq L \) per cui \( L_i\subset M\subset L_{i + 1} \), sarà \( M = L_i \) oppure \( M = L_{i + 1} \). Ho un vuoto, anche se penso che la cosa sia molto stupida.
2.0) Uno spazio vettoriale non banale di dimensione \( n \) ammette sottospazi di dimensione \( m \), per ogni \( 1\leqq m\leqq n \)?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sì! Perché \( L \) è non banale, quindi ha un insieme linearmente indipendente di cardinalità \( 1 \), e ha dimensione \( n \), quindi contiene per definizione un insieme linearmente indipendente di cardinalità \( n \). Rimane quindi da provare che ammessogli un insieme \( E = \left\{e_1,\dots,e_m\right\} \) di cardinalità \( m<n \) linearmente indipendente, ne conterrà anche un altro di cardinalità \( m+1 \): sarà \( \langle E\rangle\neq L \), e quindi esisterà un elemento \( e_{m + 1}\in L\setminus\langle E\rangle \) tale che \( E\cup\left\{e_{m + 1}\right\} \) sia linearmente indipendente. \( \square \)
2) È vero che una bandiera massimale è unica?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Quello che ora so, è che 1) tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità; 2) se uno spazio \( L \) contiene una bandiera massimale di lunghezza \( n \), allora posso trovare una base di \( L \) di \( n \) elementi; 3) allora ammettere uno spazio \( L \) contenente due bandiere di lunghezza distinta è contraddittorio, perché potrei in tal caso costruire due basi di lunghezza differente (ma per costruire queste due basi credo serva l'assioma della scelta) \( \square \). Ma non credo aiuti per l'esercizio, al massimo migliora la mia immagine mentale di 'ste cose.
Riguardo alla non unicità di una bandiera non massimale non ci sono dubbi; ma se \( L_0\subset L_1\subset\dots\subset L_n\subset\dots \) lo è?
La mia intuizione dice che una bandiera massimale contiene - a campione - un sottospazio di \( L \) per ogni dimensione: dalla dimostrazione che ho fatto qui si evince che gli \( L_i \) sono generati da insiemi linearmente indipendenti \( \left\{e_1,\dots,e_i\right\} \), per ogni \( i = 1,\dots,\dim L \). \( \square \)
La bandiera massimale ottenuta dalla base canonica \( \left\{e_i\right\}_{i\in\{1,\dots, n\}} \) di \( \mathbb R^n \)
\[
0\subset\langle e_1\rangle\subset\langle e_1,e_2\rangle\subset\dots
\] è diversa dalla bandiera
\[
0\subset\left\langle\left(
\begin{smallmatrix}
0\\
1\\
0
\end{smallmatrix}
\right)\right\rangle\subset\left\langle\left(
\begin{smallmatrix}
1\\
0\\
0
\end{smallmatrix}
\right),\left(
\begin{smallmatrix}
0\\
1\\
0
\end{smallmatrix}
\right)\right\rangle\subset\dots
\] che pure dovrebbe essere massimale! Quindi azzardo un "no".
Riguardo alla non unicità di una bandiera non massimale non ci sono dubbi; ma se \( L_0\subset L_1\subset\dots\subset L_n\subset\dots \) lo è?
La mia intuizione dice che una bandiera massimale contiene - a campione - un sottospazio di \( L \) per ogni dimensione: dalla dimostrazione che ho fatto qui si evince che gli \( L_i \) sono generati da insiemi linearmente indipendenti \( \left\{e_1,\dots,e_i\right\} \), per ogni \( i = 1,\dots,\dim L \). \( \square \)
La bandiera massimale ottenuta dalla base canonica \( \left\{e_i\right\}_{i\in\{1,\dots, n\}} \) di \( \mathbb R^n \)
\[
0\subset\langle e_1\rangle\subset\langle e_1,e_2\rangle\subset\dots
\] è diversa dalla bandiera
\[
0\subset\left\langle\left(
\begin{smallmatrix}
0\\
1\\
0
\end{smallmatrix}
\right)\right\rangle\subset\left\langle\left(
\begin{smallmatrix}
1\\
0\\
0
\end{smallmatrix}
\right),\left(
\begin{smallmatrix}
0\\
1\\
0
\end{smallmatrix}
\right)\right\rangle\subset\dots
\] che pure dovrebbe essere massimale! Quindi azzardo un "no".
3) come si ottengono tutte le bandiere di uno spazio vettoriale? Se lo spazio ha dimensione finita, quante sono?
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
(Forse avrei dovuto studiare qualcosina di combinatoria dal De Marco... 
) Per quanto riguarda la seconda domanda... È davvero così difficile/lungo (è tra i primi risultati che escono su Google per "how many flags does a vector space have?")?
) Per quanto riguarda la seconda domanda... È davvero così difficile/lungo (è tra i primi risultati che escono su Google per "how many flags does a vector space have?")?Vi prego non ignoratemi :c
