da mmdem » 04/12/2019, 01:27
Col disco fermo, regge la neutralità elettrica assoluta, la densità di carica negativa degli elettroni liberi della banda di conduzione (\(\displaystyle \rho_{e0} \)) compensa rigorosamente la densità di carica positiva associata agli ioni (nuclei + elettroni interni) immobili della rete cristallina (\(\displaystyle \rho_i \)). Di conseguenza, non esistono forze elettriche dovute alla distribuzione di carica totale che si annulla dappertutto.
Il disco si mette in movimento: gli elettroni liberi acquisiscono in un tempo brevissimo un movimento collettivo circolare dovuto agli urti microscopici sistematici con gli ioni della rete cristallina (sostanzialmente si può dire che si tratta dello stesso effetto microscopico che si accade nella dissipazione resistiva usuale in un conduttore).
Mettiamo ora il campo magnetico. Vista la grandezza del rapporto \(\displaystyle e/m_e \), le forze inerziali (dipendenti dalla massa dell'elettrone) sono trascurabili di fronte alle interazioni elettromagnetiche della particella, quindi possiamo limitarci all'analisi di queste ultime. All'inizio c'è solo la forza Lorentz che agisce sugli elettroni liberi che acquisiscono un movimento collettivo di ridistribuzione verso la parte interna o la parte esterna del disco (in funzione del senso di rotazione). L'effetto della ridistribuzione è una dipendenza esplicita della densità di elettroni liberi dal raggio (che da \(\displaystyle \rho_{e0} \) costante diventa \(\displaystyle \rho_e(r) \) variabile) mentre la densità degli ioni rimane sostanzialmente uguale a quella costante iniziale, \(\displaystyle \rho_i \). La densità di carica totale dipenderà quindi dal raggio e prenderà valori diversi da zero, sia positivi che negativi (in modo che la carica totale del disco rimanga sempre nulla).
All'equilibrio raggiunto, il campo elettrico creato da tale distribuzione di carica deve compensare esattamente la forza di Lorentz (per definizione: se non la compensa esattamente non c'è equilibrio), quindi vale il discorso precedente sulla ddp. Come esercizio per "farsi la mano", suggerisco di calcolare la densità di carica (\(\displaystyle \rho(r) = \rho_i - \rho_e(r) \)) corrispondente al campo elettrico risultante, mettendo in gioco anche la condizione di neutralità elettrica del disco.