dubbio su relazioni radici coefficienti

[Ema2003]

Buon pomeriggio a tutti, domani avrò una verifica di matematica in cui è incluso l'argomento delle relazioni fra radici e coefficienti. Ho capito praticamente tutto, tranne un paragrafo intitolato somma e prodotto delle radici ed equazione in forma normale. Ve ne allego una foto. Non capisco nè come si applichi, nè come si usi nè quando vada usata (se ho davanti un'equazione come capisco che devo usare sta roba e non il classico b2-4ac o la formula ridotta?). Grazie e chiedo scusa se la domanda possa sembrare un po' stupida ma questa cosa non l'ho proprio capita.

[Zero87]

Ho capito praticamente tutto, tranne un paragrafo intitolato somma e prodotto delle radici ed equazione in forma normale.

Si tratta delle proprietà delle radici di un'equazione di secondo grado. Alle superiori viene data come definizione e non dimostrata - per quanto ne so - ma comunque puoi verificarla "all'indietro" se non ti fidi: te lo scrivo, si tratta di due semplici passaggi!
Ammettiamo che $x_1$ e $x_2$ siano le soluzioni di un'equazione di secondo grado. Vuol dire che l'equazione si può scrivere come
$(x-x_1)(x-x_2)=0$
se sviluppi il prodotto ottieni
$x^2-x_1 x - x_2 x + x_1 x_2=0$ ovvero $x^2-(x_1+x_2)x + x_1 x_2 = 0$
che è la stessa cosa scritta come definizione sulla fotocopia che hai postato (anche se ti dà la definizione come tale).

Non capisco nè come si applichi, nè come si usi nè quando vada usata (se ho davanti un'equazione come capisco che devo usare sta roba e non il classico b2-4ac o la formula ridotta?).

Diciamo che si può applicare sempre, si tratta più di un accorgimento grafico che permette di evitare l'applicazione della formula. Alla domanda "perché devo usarla al posto di $b^2-4ac$" credo che la risposta è "perché credo che il tuo prof/la tua prof voglia farti imparare questo metodo.
Scherzi a parte si tratta di una cosa molto carina che può essere utile tenere a mente.

Ti faccio due esempi.
Esempio facile facile: fai conto di avere $x^2-x-2=0$.
Dalla relazione precedente devi trovare due numeri che sommati ti danno il termine della $x$ e a prodotto il termine noto. In genere è più facile partire dal termine noto e hai due possibilità: $-2$ e $1$ e $2$ e $-1$.
Vediamo quale soddisfa l'altra condizione:
per la prima $-2+1=-1$ (che è il coeff. di $x$ quindi è questa che è giusta!)
per la seconda $2-1=1$ (che non è giusta, ma d'altra parte quella giusta era la precedente).
Quindi $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ da cui puoi risolvere l'equazione senza passare per la formula risolutiva.
Esempio più difficile: fai conto di avere $x^2-3x-10=0$.
Se vado a vedere come posso scomporre il $-10$, ho $10$ e $-1$, ma anche $-10$ e $1$ e ancora $-5$ e $2$ e $5$ e $-2$. A tentativi, come prima, scopri che la coppia giusta è $-5$ e $2$ poiché $-5+2=-3$ che è il coefficiente della $x$.

Spero di essermi spiegato, si tratta di un argomento che mi piace e quando mi faccio prendere dall'entusiasmo ho paura di fare un casino...

Aggiungo una cosa, una sorta di next level.
Dalla formula risolutiva, hai
$x_1 = \frac{-b + \sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
hai mai provato a vedere cosa succede se fai questo prodotto $(x-x_1)(x-x_2)$?

[Shackle]

Alle superiori viene data come definizione e non dimostrata

Ciao Zero87 . LA dimostrazione è proprio quella che hai scritto , non ce n'è un'altra, che io sappia.

si tratta più di un accorgimento grafico...

È un procedimento analitico, a volte più spedito della classica formula :

$c/a = x_1x_2$

$-b/a = x_1 +x_2$

[gugo82]

Infatti, la regola non si applica per risolvere un'equazione, ma per fare altro…

Ad esempio, se sai che il polinomio $p(x)=27 x^2 + 3 x - 30$ si annulla in $x_1=1$, puoi dire dove si annulla senza risolvere esplicitamente l'equazione $27 x^2 + 3 x - 30=0$ (che è bruttina) e senza svolgere la divisione $p(x) div (x-1)$: infatti, viste le relazioni tra soluzioni e coefficienti, ti basta trovare un numero $x_2$ tale che $x_1x_2 = c/a <=> x_2 = -(30)/(27)= - (10)/9$.
Oppure, puoi predire il segno delle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza effettivamente calcolarle: infatti, se $c/a >0 ^^ -b/a>0$ allora $x_1,x_2>0$ (infatti dato che $c/a = x_1x_2>0$, le due soluzioni hanno stesso segno, e visto che $-b/a=x_1+x_2>0$, le due soluzioni sono entrambe positive).

In generale, l'avere informazioni sulle soluzioni di un'equazione (di qualsiasi specie) senza risolvere l'equazione stessa è un problema della massima importanza, poiché le equazioni risolubili esplicitamente sono davvero "poche" (essenzialmente, sono solo quelle che si studiano alle superiori). Quindi ogni risultato che ti consenta di stabilire proprietà delle soluzioni di un'equazione a priori¹ è il ben venuto ed ha una buona dose di importanza di per sé.

Inoltre, questi risultati di base sui legami tra coefficienti di un'equazione algebrica e le sue soluzioni sono importanti perché sono le basi per futuri sviluppi della teoria astratta delle equazioni algebriche… Ma qui si entra in un campo che non è mio e non vorrei incasinarti le idee.


P.S.: L'esempio del testo è davvero inutile, come al solito sul Bergamini, Trifone & Barozzi, e contiene un uso errato dell'articolo determinativo in "è possibile scrivere l'equazione che ha per radici...".

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Note

1. Nel senso, senza averle calcolate esplicitamente. ↑