Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Shackle » 29/11/2019, 16:48

Molti di voi conosceranno già gli argomenti, ma vorrei precisare dei punti che a volte mi sembrano poco chiari, specie nei libri divulgativi, senza matematica.

Circa il principio di equivalenza, tutti gli appassionati della materia sanno che cosa è.
Si inizia con la constatazione sperimentale che massa inerziale e massa gravitazionale dei corpi sono "uguali" , nei limiti consentiti dagli esperimenti e dalle misure. Non è un teorema che si dimostra. Già in meccanica classica questo ci permette di dire che, " localmente" , tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione di gravità, e questo è il principio di equivalenza debole. Ma Einstein fece delle considerazioni più profonde, e immaginò degli esperimenti, che gli appassionati conoscono, su una cassa posta nello spazio profondo, lontano da campi gravitazionali, con dentro degli oggetti e degli osservatori , liberi di fluttuare in essa; la cassa , accelerata all'improvviso da una forza costante in una certa direzione, fa sí che gli oggetti e gli osservatori in essa "cadano" verso il pavimento con accelerazione uguale e contraria a quella della cassa; quindi la situazione è indistinguibile da quella in cui la cassa é poggiata al suolo di un corpo celeste, dove l'accelerazione gravitazionale , supposta costante, fa cadere tutti gli oggetti alla stessa maniera. Va precisato che la cassa è piccola rispetto al campo gravitazionale, che quindi può essere considerato costante almeno nella zona di spazio (e di tempo) in cui la cassa è confinata.
LA cassa, prima di essere accelerata e perciò liberamente fluttuante nello spazio profondo, è un riferimento inerziale, visto che gli oggetti al suo interno , se non li si sottopone a forze, rimangono in quiete o in moto rettilineo uniforme: questa è proprio la definizione di riferimento inerziale.
Ma si può avere un riferimento inerziale "locale" (LIF = local inertial frame) anche in un campo gravitazionale. Come? Abbandonando la cassa al campo gravitazionale, cioè lasciandola andare, come suol dirsi, in "caduta libera" . La cassa cade liberamente, e alla stessa maniera cadono gli oggetti e gli osservatori posti in essa: ci siamo liberati localmente della forza peso, per mezzo della caduta libera, e cioè il peso apparente rispetto alla cassa presa come riferimento è nullo; ma questo non vuol dire che "la gravità è assente" ! La prova ce l'abbiamo sotto gli occhi, quando guardiamo in TV gli astronauti nella ISS, che è in caduta libera rispetto alla terra. Essi non pesano rispetto alla ISS, ma rispetto alla terra si !
All’interno del LIF le leggi della fisica sono quelle della relatività ristretta, lo spaziotempo è piatto, la metrica è quella di Minkowski.

Chi volesse approfondire il principio di equivalenza, che esiste in varie forme ( quello che serve è il principio "forte" di Einstein, il quale estende l'equivalenza a tutti i fenomeni fisici, non solo quelli legati alla caduta dei corpi), può leggersi questo :

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Ma c'è da fare qualche osservazione importante. Si parla di caduta libera, quasi sempre. Che vuol dire ? Forse che il riferimento inerziale deve sempre necessariamente "andare giù" , come quando Einstein disse: "Quando cado , non avverto il mio peso", oppure il LIF può andare pure verso l'alto, per esempio con una grossa spinta iniziale, e poi basta forza applicata? In altri termini, se Einstein anziché buttarsi dal decimo piano di un palazzo, venisse sparato come l'uomo cannone del circo equestre, che all'inizio sale e poi scende lungo un arco di parabola (in realtà sarebbe un pezzo di ellisse, ma se $vecg$ = costante, va bene la parabola) , sentirebbe il suo peso nel tratto ascendente? No, non lo sentirebbe. Anche il primo tratto ascendente è in caduta libera, signori miei!
La cassa e i suoi abitanti hanno ricevuto la spinta iniziale, ma poi più nessuna forza. Classicamente, noi osservatori a terra diciamo che la cassa decelera perché la forza peso agisce in verso discorde al moto; ma il punto di vista della RG è diverso, la gravità non è una forza, è curvatura dello ST.

Wheeler e Taylor , nel loro libro "Spacetime Physics",1riportano un esempio, tratto dal romanzo di Giulio Verne "Dalla Terra alla Luna" : un grosso proiettile viene sparato dalla Terra in direzione della Luna; nel proiettile ci sono passeggeri e animali. Verne dice che, fin quando il proiettile rimane nelle vicinanze della terra, il passeggero è adiacente al "pavimento" del proiettile, rivolto verso terra; quando esso si avvicina alla Luna, il passeggero è adiacente al "soffitto" , rivolto verso la luna; e questo a causa del campo gravitazionale più intenso, della terra prima e della luna poi. Ebbene, questo è sbagliato. Dopo l'impulso iniziale, non agisce più alcuna forza sul proiettile e sui passeggeri; di conseguenza, i passeggeri sono in "libero galleggiamento" dentro al proiettile , e questo stato dura fino all'impatto con la Luna . Ma leggete direttamente il brano del libro di Taylor e Wheeler (non riporto la fig. 22 ma la sua spiegazione), c'è anche un cane morto (ahimè) nella storia di Verne, il cui corpo viene gettato fuori dal finestrino, ma continua a seguire la stessa traiettoria del proiettile in viaggio (e su questo Verne aveva visto giusto! ) :

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È chiaro questo ? Quindi, se spariamo l'uomo cannone nel circo, egli non sente il suo peso non soltanto quando è arrivato in cima alla parabola e inizia la discesa, ma anche durante la fase di salita! Teniamo presente che non agisce alcuna altra forza sull'uomo cannone (trascuriamo l'attrito), dopo lo sparo iniziale.
Si, l'effetto di quella che noi chiamiamo "forza di gravità" è neutralizzato dalla libertà che ha il corpo dell'uomo di "galleggiare liberamente" nello spazio: gli astronauti fluttuanti nella ISS ne sono un esempio. E allora , anche se uno lancia un sasso in un campo, e questo descrive la sua parabola e ricade a terra, il sasso non sente la forza di gravità in tutto il percorso. ( Ecco le pietre in caduta libera nel campo gravitazionale terrestre... :wink: )

Ora guardate la figura seguente, dove trovate appunto le pietre lanciate :

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nella figura ci sono due riferimenti, K a sinistra e K' a destra. C’è un passeggero in esse che si diverte a lanciare pietre. In K a sn, le traiettorie sono rettilinee, il che può significare due cose: o la cassa è nello spazio profondo, lontano da qualsiasi campo gravitazionale, e allora è un riferimento inerziale, con assi che si possono idealmente estendere all'infinito; oppure la cassa è in caduta libera nel c.g. terrestre, e allora è un LIF.
Nel rif. K’ a destra, le traiettorie delle pietre sono delle parabole; quindi, o K’ è dotata di accelerazione costante $veca=-vecg$ verso l’alto, nello spazio profondo senza c.g. esterno, oppure K’ si trova ferma a terra, in un campo $vecg$=costante. Questo dice il principio di equivalenza, chiaro? In tutti casi, le traiettorie sono delle geodetiche. dello ST.

Ora viene il fatto più bello! A sn, nello ST piatto della RR, le geodetiche sono rettilinee, viste sia dall'interno che dall'esterno; a destra, sono geodetiche dello ST incurvato o dall'accelerazione del riferimento o dalla gravità. Sappiamo che una geodetica in uno spazio (nella accezione più generale di spazio) viene fuori applicando il "principio di minima azione" al moto della particella. Ma non voglio entrare in dettagli matematici, ci sono ottime trattazioni in rete al riguardo.
Nello spazio euclideo, la geodetica tra due punti A e B è il segmento di retta che li unisce, che ha lunghezza minima tra tutte le possibili curve che vanno da un punto all'altro. È banale che, a parità di velocità $v= (ds)/(dt)$ lungo una qualsiasi traiettoria da A a B , la distanza minore è percorsa nel tempo minore : $t_(AB) = s_(AB)/v$. Più lunga è la traiettoria, maggiore sarà il tempo per percorrerla con velocità $v$ .
Nello ST piatto della relatività ristretta, però, non vale la geometria euclidea, ma la geometria iperbolica. Dati due eventi A e B, la geodetica che congiunge A con B non è la linea di universo di "tempo minore" , bensì quella di "tempo maggiore" . Strano? No, relativistico. SE un viaggiatore va da A a B lungo la geodetica, senza essere sottoposto ad alcuna accelerazione, risulta che il tempo che egli legge sul proprio orologio da polso all'arrivo è maggiore di tutti i tempi segnati da orologi che hanno seguito linee di universo differenti dalla sua geodetica. Nella figura seguente, sul piano di Minkowski, La geodetica è il segmento rosso AB, le altre curve sono linee di universo di altri osservatori, accelerati in vario modo da A a B: il loro tempo è minore del tempo da A a B lungo la geodetica. Si badi che li ST è sempre piatto. ora.

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Per capire il perché, trasformiamo il disegno nel diagramma (t,x) di Minkowski riferito all'oss. inerziale OI che ha seguito la geodetica (rossa). Questa diventa l'asse $t$ di OI ; quindi, siccome nessuno viaggia rispetto a se stesso, possiamo dire che ora OI , messo nell'origine, non si sposta se non nel suo tempo, non nel suo spazio evidentemente: rimane fermo nel suo riferimento inerziale, non va da nessuna parte. Per lui, passa solo il suo tempo $t$ ; gli altri viaggiatori non sono inerziali perché le loro linee di universo non sono geodetiche.
Prendiamone uno, che si sposta invece sia nello spazio $x$ che nel tempo $t$ rispetto ad OI: si allontana da OI in A , e poi ritorna verso OI in B. Questo osservatore ha un proprio orologio, col quale misura il tempo proprio $tau$. Alla fine, quando è tornato alla base B e confronta il suo orologio con quello di OI , trova che il suo tempo proprio è inferiore al tempo coordinato segnato dall'orologio di OI. La situazione, e la spiegazione, è nel foglio allegato, e nell'ultimo schizzo :

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in ogni punto della linea di universo del viaggiatore; si ha, per l'invarianza del 4-intervallo ST tra eventi:

$ (cd\tau)^2 = (cdt)^2 - (dx)^2 = (cdt)^2 - (vdt)^2 = dt^2 (c^2-v^2) rarr d\tau^2 = dt^2(1- (v/c)^2) $

e questo vuol idre che la geometria è iperbolica; il cateto verticale è $dt = gamma d\tau rarr dt >d\tau$

Questo appena descritto non è altro che il famoso paradosso dei gemelli, per risolvere il quale non occorre la Relatività Generale, come talvolta erroneamente si legge.

Gia; io però ora voglio proprio usare la RG, almeno qualitativamente, e allora? Lanciare pietre in un campo mi dice qualcosa. Prendiamo la cassa K' di poco fa , e mettiamola a terra . Anzi, eliminiamo proprio la cassa, che non serve, e teniamoci soltanto le pietre , che lanciamo verso l'alto facendole descrivere le traiettorie paraboliche. Vi ricordate che ho detto? Le traiettorie, paraboliche per me che lancio le pietre stando in piedi a terra, sono "geodetiche" dello ST curvato dalla gravità . Per un OI che fosse solidale a una pietra, la traiettoria sarebbe rettilinea; è la terra ad essere accelerata verso la pietra con accelerazione uguale e contraria a $vecg$. È la terra, che martella sotto i miei piedi impedendomi di cadere, mentre la pietra segue tranquillamente la sua geodetica! Come si vede, il punto di vista della RG è rovesciato rispetto a quello della gravitazione newtoniana. Il riferimento terrestre è accelerato, il riferimento "locale" solidale alla pietra è inerziale, diventa la cassa K di sinistra in caduta libera verso terra. (Fate attenzione qui, perchè sto parlando di una situazione locale. Alla fine, rovescerò nuovamente i termini della questione, ma per ora pensiamo alle pietre lanciate nel campo).

E il paradosso dei gemelli dove è finito ? Che c’entra con le pietre? È presto detto; immaginate il seguente scenario: io e Faussone siamo su un prato, diciamo a 20m di distanza tra noi; i nostri orologi sono sincronizzati. Io lancio verso Faussone una palla ( meglio della pietra, non sia mai sbaglio il lancio e gliela tiro in testa..:-D ); alla palla è attaccato un piccolo orologio, sincronizzato col mio alla partenza. La palla fa la sua parabola, ed è presa da Faussone dopo un certo tempo del nostro orologio. Che tempo segna l'orologio attaccato alla palla ? Faussone rispondi, puoi benissimo farlo in base a tutto quello che ho detto! Cosí ti renderai conto che lanciare pietre, o palle, a terra può essere utile per capire la relatività generale: hai detto niente!

Questo scenario è del tutto identico al secondo di quelli riportati nel seguente esercizio :
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Chi è inerziale, nel secondo scenario? Chi è accelerato? Attendo vostre risposte.

(NB : ho detto che dopo rovescerò i termini della questione, perchè ci vuole il solito grano di sale, come in tutte le cose della vita. Ma lo farò dopo le risposte, se ce ne saranno) .

Sono stato prolisso ? . :-D

Note

  1. tradotto in italiano da Zanichelli anni fa
Ultima modifica di Shackle il 02/12/2019, 15:51, modificato 1 volta in totale.
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Quinzio » 29/11/2019, 18:41

Sono stato prolisso ? . :-D


:-)
Con calma lo leggo tutto.

L'esempio della stanza che viaggia da terra alla luna e' inesatto come dici tu. I passeggeri non notano alcuna pressione contro le pareti perche' sono in "caduta libera".
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Quinzio » 30/11/2019, 20:14

Ora, uno dei problemi della GR e' questo... :-)
Due gemelli, A e B, sono su due astronavi ferme tra di loro e vicine.
Allo stesso istante iniziano a muoversi in direzione opposta e si allontanano fino ad arrivare alla stessa velocita' relativistica.
Il gemello A invia delle immagini a B via radio. Il gemello B le riceve e, tenendo conto del tempo che le onde radio impiegano ad arrivare vede il gemello A che invecchia meno velocemente di lui, in accordo con la teoria relativistica.
Poi i gemelli invertono la rotta insieme e si riavvicinano.
Il gemello A continua ad inviare immagini a B, il quale continua a vedere che A invecchia meno velocemente.
Quando pero' si incontrano, A fa notare a B che l'esperimento e' simmetrico, e quindi non ha senso che uno dei due gemelli sia piu' giovane, in modo asimmetrico.
Domanda: quando si rincontrano i gemelli avranno la stessa eta' ?
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Shackle » 30/11/2019, 21:02

Quinzio, mi aspettavo che qualcuno rispondesse al problema che ho riportato alla fine del messaggio...
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Quinzio » 30/11/2019, 21:11

Ah ok.
In entrambi i casi dovrebbe essere il gemello che si muove, che accelera, quello che rimane piu' giovane.
Ma non lo so con certezza.
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Shackle » 30/11/2019, 22:51

Si, è quello accelerato che rimane più giovane, cioè è l’orologio accelerato che rimane indietro.
Ma ci sono due figure: quale è l’orologio accelerato, nella prima figura 13.7 ? E nella seconda figura?
Per la prima, la situazione è chiara: A è inerziale, B è accelerato. Quindi B rimane più giovane.

Per la seconda figura 13.8...Se hai letto bene tutto, specie la storia del riferimento K' (figura precedente), e della terra che “martella sotto i miei piedi “ per impedire la mia caduta, mentre la parabola descritta dalla "pietra con orologio" è la geodetica, hai la risposta...

A scanso di equivoci, è bene precisare che non è l’accelerazione dell’orologio a determinarne il ritmo, ma il potenziale gravitazionale. Ci tornerò dopo.
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Sirio01 » 01/12/2019, 18:14

Attenzione che è ormai superata la credenza che il rallentamento del tempo dipende dal fatto che un sistema, e cioè nel nostro caso la palla, rompe il riferimento con te e Faussone. Questa impostazione appartiene alle vecchie interpretazioni mentre ora si è capito che il tempo rallenta per la velocità in sé. Insomma come avviene in relatività generale. Per renderci conto è meglio illustrare con la risposta alla seguente domanda, ragionando in nanosecondi.

Immaginiamo che Faussone abbia un potenziale gravitazionale molto più basso del tuo anche se sta ad appena 20 metri, tanto che riesce a creare un campo gravitazionale che produce una grande accelerazione che porta la palla lanciata da te, immaginiamo che il campo imprima alla partenza già la velocità istantanea di 9milioni m/s, ad aumentare perciò mano a mano l’accelerazione di altrettanti 9milioni m/s^2. Se tu lanci la palla alle ore 12 esatte del tuo orologio, e ponendo che in quell’istante anche l’orologio di Faussone e quello che è legato alla palla siano stati sincronizzati alle ore 12, che orario segnerà l’orologio di Faussone quando gli arriva la pallina e che orario segnerà l’orologio che sta sulla pallina? Una volta chiarito questo aspetto si può completare il discorso, con dimostrazione che la pure il m.l.u. incide in modo assoluto e aggettivamente sul tempo anche senza che il sistema si fermi, acceleri, svolti, torni indietro, ecc.

Ciao
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Shackle » 02/12/2019, 11:35

Viste le numerose risposte pervenute :-D , scrivo la soluzione.
Se lancio in alto, in verticale, una pietra a cui è attaccato un orologio, e la prendo quando ricade, il $Deltat$ segnato dall’orologio è maggiore di quello che leggo sul mio orologio da polso, secondo la RG . Infatti, la pietra è in caduta libera, la sua linea di universo è una geodetica dello ST curvo; è la terra , cioè sono io, ad essere accelerato rispetto alla pietra. Quindi il mio orologio da polso segna minor tempo rispetto a quello della pietra.
Del resto, sappiamo bene (forse...) che un orologio posto ad altezza $H$ da terra, nel c.g. terrestre, batte il tempo più in fretta di un orologio al suolo; la frequenza di quello in alto vale: $\nu’ =\nu(1+(gH)/c^2) $ , e questo è stato verificato anche sperimentalmente, già negli anni ‘50 (Leschiutta e altri, se ben ricordo). Il tempo scorre più lentamente vicino a grandi masse, come sa chi studia i buchi neri.

Di questo occorre tener conto, ad es, nella regolazione degli orologi a bordo dei 24 satelliti del GPS; qui c’è anche l’effetto del rallentamento del tempo dovuto alla relatività speciale, ma i due effetti si cumulano.
L’effetto gemelli in RS è dovuto alla velocità , non all’accelerazione, come mostrato da milioni di esperimenti eseguiti negli anelli di accumulazione dei laboratori. L’altro effetto, in GR, dipende dal potenziale gravitazionale, come prima detto: $ \phi =gH$ .

Ho detto in precedenza che avrei rovesciato , alla fine, il punto di vista sull’ orologio nel c.g. terrestre. Voglio dire questo. Considero la Terra come una base spaziale, in moto inerziale rispetto alle stelle fisse. Lancio un’astronave verso Vega, a velocità costante salvo un breve periodo iniziale di accelerazione ; la nave, arrivata a Vega, gira e torna a terra. Allora, è il gemello viaggiatore che torna a terra più giovane del fratello rimasto a casa. In altri termini, il fenomeno prima descritto circa il tempo della pietra lanciata dal suolo, che dopo un po' ci ricade, è un fenomeno locale; nel caso del viaggio della nave spaziale verso Vega il c.g. terrestre non conta; esso è praticamente nullo alla distanza di Vega, ma anche molto molto prima; basta fare qualche conticino, per esempio valutare la g dovuta alla Terra ai confini del sistema solare.

Qual è la morale? Si può fare tanta fisica lanciando pietre.
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Sirio01 » 02/12/2019, 17:58

Visto che non si è risposto provo a farlo io. Ovviamente possiamo cambiare distanze, accelerazioni e campi come vogliamo. Tornando all’esempio, ecco i tempi. Se si è d’accordo possiamo illustrare meglio, altrimenti discutiamo sugli errori che avrei commesso. Sarebbe bella una risposta di Faussone che invece è assente.



Quando la pallina tocca Faussone,

il tuo orologio segna le 12 e 222,22 ns;



l’orologio di Faussone segna le 12 e 177,77 ns;



l’orologio attaccato alla pallina segna le 12 e 185,6 ns.



Se si riscontrano errori procediamo a correzione.



Ciao
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Re: Principio di equivalenza, caduta libera, e paradosso dei gemelli

Messaggioda Faussone » 02/12/2019, 19:53

È da un poco che non leggo il forum, comunque non capisco perché sono stato tirato dentro questa discussione. :-D
Io avevo solo scritto in un altro contesto che difficilmente si osservano effetti relativistici su pietre lanciate sulla superficie terrestre e che in tale contesto basta la fisica classica, mi pareva e mi pare ovvio visto le velocità e i campi gravitazionali coinvolti.
Non serviva per quella affermazione aprire questa discussione che comunque approvo se quella era solo una scusa per ribadire e chiarire alcuni concetti.
Io comunque non partecipo, anche se le leggo quando riesco, a queste discussioni sulla relatività speciale e generale, mi piace parlare di cose che ho studiato e approfondito a sufficienza e non è il caso in tale contesto. Per ora non ho spazio per dedicare a questa materia il tempo che merita, anche se ho capito che i principi base sono in fondo semplici.

Detto questo siete liberi di usare il mio nick per i vostri esperimenti mentali, ma non aspettatevi un mio intervento! : 8-)
Faussone
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