Problema con disco carico

Messaggioda ZfreS » 30/11/2019, 16:20

Un disco isolante di raggio $R_2$ ruota nel vuoto con velocità angolare uniforme $ω= 300rad/s$ intorno ad un asse passante per il suo centro ed ortogonale al piano del disco stesso. Il disco, immerso in un campo magnetico costante ed uniforme $B= 1T$ parallelo all’asse di rotazione, è ricoperto da uno strato conduttore a forma di corona circolare di raggio interno $R_1= 100cm$ e raggio esterno $R_2= 200cm$. Calcolare la d.d.p. $DeltaV$ tra i due bordi della corona circolare.
Ho difficoltà a risolvere questo problema perchè non riesco a capire come approcciare e non capisco molto bene il fenomeno. Inoltre non conosco nessuna relazione tra potenziale e campo magnetico.
Potreste suggerirmi come ragionare per risolverlo?
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Re: Problema con disco carico

Messaggioda Quinzio » 30/11/2019, 19:50

Un conduttore che si muove in un campo magnetico perpendicolare genera una tensione
$e = B\ l\ v$.
Questa formula dovresti conoscerla.
Oppure differenziando nella lunghezza diventa
$de = B\ dl\ v$
Quindi non ti resta che integrare dal bordo interno a quello esterno.

$\Delta V = \int_{r_i}^{r_e} de = \int_{r_i}^{r_e}B\ v\ dl$
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Re: Problema con disco carico

Messaggioda ZfreS » 02/12/2019, 08:52

Si, avevo pensato a quella, ma il problema andrebbe risolto senza considerare l'induzione magnetica. Bisogna sfruttare la forza di Lorentz ma non capisco perchè si arrivi a quella.
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Re: Problema con disco carico

Messaggioda mgrau » 02/12/2019, 11:00

Ma guarda che la forza esercitata da B su una corrente e la forza di Lorentz sono la stessa cosa.
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Re: Problema con disco carico

Messaggioda mmdem » 02/12/2019, 12:21

Gli elettroni del conduttore sono mobili e si ridistribuiscono in modo di trovarsi all'equilibrio. In aggiunta alla forza di Lorentz che agisce sugli elettroni che si spostano assieme al disco con le loro velocità tangenziali, compare un campo elettrico interno generato dalla nuova configurazione delle cariche. L'azione di tale campo elettrico deve compensare esattamente la forza di Lorentz, quindi \(\displaystyle e \cdot E(r) = e \cdot v(r) \cdot B \), dove \(\displaystyle v(r) = \omega \cdot r \). La differenza di potenziale risulta dall'integrazione del campo elettrico \(\displaystyle E(r) = \omega \cdot r \cdot B \) fra i due raggi, quindi \(\displaystyle \Delta V = \omega \cdot B \cdot (R_2 - R_1) \)
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Re: Problema con disco carico

Messaggioda ZfreS » 02/12/2019, 22:20

Bene mmdem, vorrei ragionare il problema sulla base di ciò che hai detto. All'inizio gli elettroni del conduttore sono fermi, quando il disco inizia a girare e si "accende" il campo magnetico gli elettroni si muovono (forse anche per effetto della forza centripeta?) poichè subiscono una forza di Lorentz dovuta al campo magnetico, ma essendoci elettroni ci deve essere anche un campo elettrico, dunque la forza deve essere: $F=qE+qvB$ e il sistema trova equilibrio quando la forza di lorentz eguaglia l'altro campo elettrico, e poi integrando si trova la ddp. Nel tuo ragionamento non consideri il campo elettrico iniziale generato dalle cariche. Ovviamente so che dici bene, ma perchè sbaglio?
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Re: Problema con disco carico

Messaggioda mmdem » 04/12/2019, 01:27

Col disco fermo, regge la neutralità elettrica assoluta, la densità di carica negativa degli elettroni liberi della banda di conduzione (\(\displaystyle \rho_{e0} \)) compensa rigorosamente la densità di carica positiva associata agli ioni (nuclei + elettroni interni) immobili della rete cristallina (\(\displaystyle \rho_i \)). Di conseguenza, non esistono forze elettriche dovute alla distribuzione di carica totale che si annulla dappertutto.
Il disco si mette in movimento: gli elettroni liberi acquisiscono in un tempo brevissimo un movimento collettivo circolare dovuto agli urti microscopici sistematici con gli ioni della rete cristallina (sostanzialmente si può dire che si tratta dello stesso effetto microscopico che si accade nella dissipazione resistiva usuale in un conduttore).
Mettiamo ora il campo magnetico. Vista la grandezza del rapporto \(\displaystyle e/m_e \), le forze inerziali (dipendenti dalla massa dell'elettrone) sono trascurabili di fronte alle interazioni elettromagnetiche della particella, quindi possiamo limitarci all'analisi di queste ultime. All'inizio c'è solo la forza Lorentz che agisce sugli elettroni liberi che acquisiscono un movimento collettivo di ridistribuzione verso la parte interna o la parte esterna del disco (in funzione del senso di rotazione). L'effetto della ridistribuzione è una dipendenza esplicita della densità di elettroni liberi dal raggio (che da \(\displaystyle \rho_{e0} \) costante diventa \(\displaystyle \rho_e(r) \) variabile) mentre la densità degli ioni rimane sostanzialmente uguale a quella costante iniziale, \(\displaystyle \rho_i \). La densità di carica totale dipenderà quindi dal raggio e prenderà valori diversi da zero, sia positivi che negativi (in modo che la carica totale del disco rimanga sempre nulla).
All'equilibrio raggiunto, il campo elettrico creato da tale distribuzione di carica deve compensare esattamente la forza di Lorentz (per definizione: se non la compensa esattamente non c'è equilibrio), quindi vale il discorso precedente sulla ddp. Come esercizio per "farsi la mano", suggerisco di calcolare la densità di carica (\(\displaystyle \rho(r) = \rho_i - \rho_e(r) \)) corrispondente al campo elettrico risultante, mettendo in gioco anche la condizione di neutralità elettrica del disco.
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