Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda jinsang » 30/11/2019, 20:47

Stavo pensando alla domanda sul contare le flag nel caso di spazio vettoriale finito (fatta qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=204205) e mi è venuto in mente un modo in cui si potrebbe procedere.

Intanto concordiamo le definizioni:

Dato un $k$-spazio vettoriale $V$ (nota)1

Una flag è una successione al più numerabile e strettamente crescente di sottospazi vettoriali che parte da $0$ e "finisce" con $V$.
In formule \(\mathcal{F}=\{ W_i \}_{i \in \mathbb{N}}\) con
\(W_i \subsetneq W_{i+1}\)
$W_0=0$
$\bigcup_{i \in mathbb{N}}W_i=V$

Si vede che è possibile ordinare le flag rispetto al contenimento, rendendo l'insieme delle flag un poset.
C'ho messo un po' a capire che era una cosa sensata
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Una flag \(\mathcal{F}_1=\{ W_i \}_{i \in \mathbb{N}}\) è contenuta in una flag \(\mathcal{F}_2\) se vale \( W_i \in \mathcal{F}_2 \ \ \forall i \) ovvero proprio \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2\)

Con poco sforzo possiamo anche dire che le flag sono un reticolo.
Basta far vedere che unione di flag è flag e intersezione di flag è flag
2.


Avvalendosi del lemma di Zorn (certo dovremmo verificare le ipotesi :-D ) si vede che esistono flag massimali.
Inoltre osserviamo che possono essere caratterizzate come le flag che sono indotte da una base (questo non dovrebbe essere difficile da dimostrare).
Nota: le basi saranno sempre basi ordinate, anche se a volte mi dimenticherò di scriverlo.

Adesso mettiamoci nel contesto che piace a noi
Ovvero $V$ $k$-sp. vett. di dimensione finita con $k=F_q$ campo con $q$ elementi dove $q$ potenza di un primo.
Vogliamo contare le flag massimali.
Contate queste, contare tutte le flag dovrebbe essere abbastanza facile, perché le posso vedere come una scelta di sottospazi in una flag massimale (Sotto a questa cosa ci sta il fatto che ogni flag la posso estendere a flag massimale).

Ora vediamo che basi diverse possono indurre la stessa flag, ma come si capisce se due basi inducono la stessa flag? La risposta che mi sono dato è la seguente:

Lemma due basi $B_1$ e $B_2$ inducono la stessa flag se e solo se la matrice di cambio di base $M_{B_1, B_2}$ è triangolare.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La dimostrazione la metterò poi, se questa cosa suscita l'interesse di qualcuno e se non vengo smentito :lol: .
Intanto chi è interessato si cimenti pure!


Adesso si dimostra che ( \(B_1 \sim B_2 \leftrightarrow M_{B_1, B_2}\) è triangolare) è una relazione di equivalenza sull'insieme delle basi (ordinate) di $V$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Chi è interessato può provare, forse io la metterò domani :twisted:


Ci siamo quindi ridotti, per il nostro problema, a contare la cardinalità di \(X/\sim\) dove $X$ è l'insieme delle basi (ordinate) di $V$ e \(\sim\) è la relazione di equivalenza introdotta.

Nota: mi rendo conto adesso che si può rileggere tutto in termini di azione del gruppo delle matrici triangolari sull'insieme $X$, e quello a cui ci siamo ridotti è contare le orbite.

Note

  1. di dimensione al più numerabile, come mi ha fatto notare arnett
  2. questo è falso, come giustamente dice arnett l'unione fallisce
Ultima modifica di jinsang il 01/12/2019, 01:23, modificato 1 volta in totale.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 01/12/2019, 00:07

Come ti ho detto per messaggio privato, esiste un ordine parziale naturale sull'insieme delle bandiere di \(V\), quando guardi una bandiera come una funzione monotona da \(\Delta[n]\) a \(\mathsf{S}(V)\) (i sottospazi di \(V\)).

Questo ordine parziale è per raffinamento: una bandiera ne raffina un'altra se ogni elemento della seconda è elemento della prima (questo si può formalizzare come ti ho scritto).

In questo ordine parziale \(\preceq\), le bandiere massimali (che wikipedia chiama "complete") sono gli elementi massimali.

Tu adesso vuoi dimostrare due cose:

- La prima è che due basi inducono la stessa bandiera se e solo se il cambio di coordinate è una matrice triangolare superiore. Questo si formalizza come segue: il gruppo generale lineare agisce su una bandiera mandando la tupla di vettori \((v_1,\dots,v_k)\) e l'automorfismo \(A\in GL(V)\) in \((Av_1,\dots,Av_k)\). Ciò che vuoi dimostrare tu equivale a dire che lo stabilizzatore per questa azione è il sottogruppo delle matrici triangolari superiori (cosa che viene detta essere vera su wikipedia, senza però dimostrazione).

Supponi che \(A\) fissi una bandiera completa: allora è triangolare nella (in ogni) base adattata alla bandiera perché il fatto che \(A\) fissi la bandiera significa che la fissa termine a termine; quindi \(A.(v_1,\dots,v_k)\le (v_1,\dots,v_k)\), cosa che implica che nella base adattata della bandiera \(A\) si scrive come matrice triangolare; il viceversa è più facile: se \(A\) è triangolare in una base adattata alla bandiera, è evidente che \(A.(v_1,\dots, v_k) \le (v_1,\dots,v_k)\) per ogni indice \(k\) degli elementi della bandiera.

L'altra cosa che vuoi dimostrare è che quella che scrivi è una relazione di equivalenza; l'unica cosa non esattamente ovvia è che l'inversa di una matrice triangolare superiore è ancora triangolare superiore: per dimostrarlo si può usare la formula di Laplace, oppure osservare che se un prodotto di matrici \(LK\) è triangolare superiore, e \(L\) è triangolare superiore, tale è anche \(K\) (scrivi il prodotto di matrici esplicitamente).
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda jinsang » 01/12/2019, 01:17

arnett ha scritto:1. Stai ammettendo al massimo flag numerabili. Ma se lo spazio vettoriale ha dimensione infinita non numerabile? Diciamo che non ammette flag? (Poiché una flag numerabile non arriva mai a saturare lo spazio).

Beh sì hai ragione. Diciamo che dovevo partire dicendo che sto definendo le flag per spazi con base al più numerabile.

arnett ha scritto:2. Sono d'accordo che l'intersezione di flag è flag, sono più dubbioso sull''unione.

Infatti hai proprio ragione, mi sono fatto prendere dall'entusiasmo e ho scritto una minchiata :roll:

Grazie per le osservazioni!


solaàl ha scritto:Come ti ho detto per messaggio privato, esiste un ordine parziale naturale sull'insieme delle bandiere di V

Non so se dici a me o a arnett, ma io non ho ricevuto messaggi privati.
Grazie comunque per i suggerimenti :-)
Ad ogni modo non volevo un aiuto a dimostrare queste cose, volevo solo proporlo perché ho trovato interessante pensarci!
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 01/12/2019, 09:17

Non so se dici a me o a arnett, ma io non ho ricevuto messaggi privati.

Oh, sì, forse ho pensato fossi la stessa persona che aveva fatto la domanda.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 01/12/2019, 09:17

Non so se dici a me o a arnett, ma io non ho ricevuto messaggi privati.

Oh, sì, forse ho pensato fossi la stessa persona che aveva fatto la domanda.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 01/12/2019, 09:46

arnett ha scritto:
solaàl ha scritto:Questo ordine parziale è per raffinamento: una bandiera ne raffina un'altra se ogni elemento della seconda è elemento della prima (questo si può formalizzare come ti ho scritto).
E questo non è precisamente l'ordine indotto dall'inclusione?


No, non lo è: con ordine!

1. Una bandiera (anche detta "catena") in \(P\) è una funzione monotòna \(f : [n] \to P\) dove \([n]\) o \(\Delta[n]\) è l'insieme totalmente ordinato \(\{1<\cdots<n\}\).

2. Sull'insieme \(\text{flg}(P)\) di queste funzioni definisco una relazione d'ordine parziale: date \(f : [n] \to P\) e \(g : [m]\to P\) dico che \(f\preceq g\) (si legge: "\(g\) raffina \(f\)") se esiste una funzione iniettiva \(i : [n] \to [m]\) (nota che quindi deve essere \(n\le m\)) tale che \(g\circ i =f\).

3. Le catene massimali sono gli elementi \(\preceq\)-massimali.

(Non c'entra con la questione, ma mi sembra che questa descrizione permette di mostrare che in \(\text{flg}(P)\) ogni segmento iniziale ammette un minimale: ogni funzione \(f : [n]\to P\) si fattorizza come una composizione \([n] \xrightarrow{r} [k] \xrightarrow{f'} P\) dove \(f'\) è iniettiva e \(r\) è suriettiva; allora una qualsiasi inversa destra a \(r : [n]\to [k]\) mostra che \(f'\preceq f\); ti lascio dimostrare che \(f'\) è minimale nel segmento iniziale \([f]_\downarrow := \{h\in P\mid h\prec f\}\))

In generale, uno spazio vettoriale di dimensione finita \(L\) si può spezzare in indecomponibili (esattamente i sottospazi di dimensione 1) e una catena massimale si ottiene a partire da una base di \(L\) aggiungendo uno ad uno i vettori di una sua base; dicevo per messaggio privato a marco2132k1 che questo è un elemento massimale di \((\text{flg}(L), \preceq)\) (\(\text{flg}(L)=\text{flg}(\textsf{S}(L))\), le bandiere nel reticolo dei sottospazi di \(L\)), semplicemente perché se \((0)\le M\le \langle e\rangle\) allora o \(M=0\) oppure \(M = \langle e\rangle\) (il caso generale è un corollario di questo quando passi ai quozienti: se \(L_i \le M\le L_{i+1}\) allora \((0) \le M/L_i \le L_{i+1}/L_i \cong \langle e_{i+1}\rangle\)).

Note

  1. Che ha aperto diversi thread sul contare e caratterizzare le bandiere, e con cui credevo di stare parlando ancora.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 03/12/2019, 11:52

arnett ha scritto:Ho scritto un post per dire che continuavo a non capire che cosa volessi dire, ma poi forse ho capito. Tu mi stai dicendo che è vietata l'identificazione di una bandiera $\mathcal{F}:[n]\to\mathsf{S}(V)$ con l'insieme delle sue immagini, cioè che è sbagliato scrivere $\mathcal{F}=\{W_i\}_{i=1, \cdots , n}$? È questo il punto?
No, una bandiera è esattamente l'insieme delle sue immagini, nello stesso senso in cui una funzione \(f : X \to A\) è l'insieme \((a_x)\) dei valori che assume al variare di \(x\in X\).

Credo di capire pure che la ragione di questo è che quando una bandiera ne raffina un'altra, i sottospazi che stanno nell'immagine di $\mathcal{F}_2$ ma non nell'immagine di $\mathcal{F}_1$ si pongono tra i sottospazi (che stanno nell'immagine) di $\mathcal{F}_1,$ alla maniera seguente:
\[\mathcal{F}_1: 0=W_1 \subsetneq W_2 \subsetneq W_3 \subsetneq \dots \dots \subsetneq W_n\]
\[\mathcal{F}_2: 0=W_1 \subsetneq W_{11} \subsetneq \dots \subsetneq W_{1m_1} \subsetneq W_2 \subsetneq W_{21} \subsetneq \dots \subsetneq W_{2m_2} \subsetneq \dots \subsetneq W_{n} \subsetneq W_{n1} \subsetneq \dots \subsetneq W_{nm_n}.\]
Sì, certo!

Osservo pure che però tu ammetti solo bandiere finite. È perché al momento stiamo parlando solo di spazi vettoriali di dimensione finita o hai altre ragioni per farlo?
Nulla vieta a una catena di essere infinita: in quel caso, invece di \([n]\), dovrai prendere un ordinale infinito più grande.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda jinsang » 03/12/2019, 12:09

Scusate se ho maleducatamente abbandonato il mio post ma ho avuto degli impegni.

Comunque ho capito la definizione di solaàl e mi sembra più elegante di quella che avevo dato io nel primo post, ma continua a sembrarmi equivalente.
Potresti mostrarmi un esempio che distingue il tuo ordine dal mio?
Magari è evidente ma io non sono riuscito a figurarmelo.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda jinsang » 03/12/2019, 12:13

solaàl ha scritto:
arnett ha scritto:Ho scritto un post per dire che continuavo a non capire che cosa volessi dire, ma poi forse ho capito. Tu mi stai dicendo che è vietata l'identificazione di una bandiera $\mathcal{F}:[n]\to\mathsf{S}(V)$ con l'insieme delle sue immagini, cioè che è sbagliato scrivere $\mathcal{F}=\{W_i\}_{i=1, \cdots , n}$? È questo il punto?
No, una bandiera è esattamente l'insieme delle sue immagini, nello stesso senso in cui una funzione \(f : X \to A\) è l'insieme \((a_x)\) dei valori che assume al variare di \(x\in X\).


Io direi che sono lo stesso ordine, e il motivo è ciò che tu dici qui.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 03/12/2019, 13:54

Il fatto è che non capisco cosa significhi formalmente \(\mathcal F_1\subset \mathcal F_2\), se non guardandolo come abuso di notazione per indicare la condizione di raffinamento... notate che un raffinamento banale di \(\mathcal F\) si ottiene ripetendo alcuni degli elementi della catena. In quel caso però \(\mathcal F \) e il suo raffinamento sono lo stesso insieme, perché gli insiemi non sono multiinsiemi.

Questo per dire che una catena non è la collezione degli elementi che la compongono, ma l'ordine totale che essi formano, ossia (appunto) la funzione monotona \(\kappa \to P\) (\(\kappa\) un ordinale a caso) che definiscono.
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