(Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici

Messaggioda marco2132k » 02/12/2019, 16:17

\( \newcommand{\Mat}{\operatorname{M}} \)\( \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \)Ciao. Devo capire una cosa sulla definizione del prodotto di matrici, riprendendo una cosa che il prof. ha fatto in classe e che non mi è stata molto chiara.

Voglio definire il prodotto di matrici \( \Mat_{m\times n}(K)\times\Mat_{n\times 1}(K)\to\Mat_{m\times 1}(K) \). Dati due \( K \)-spazi vettoriali \( N \) ed \( M \), di dimensione \( n \), \( m \) e basi \( \left\{e_k\right\}_{1\leqq k\leqq n} \), \( \left\{e^\prime_i\right\}_{1\leqq i\leqq m} \) rispettivamente, mappo la matrice \( A\in\Mat_{m\times n}(K) \) e il vettore colonna \( x\in\Mat_{n\times 1}(K) \) con il vettore colonna \( y \) di \( \Mat_{m\times 1}(K) \) per
\[
(A,x)\mapsto Ax := \varphi_M\circ f\circ\varphi_N^{-1}(x)
\] dove \( \varphi_N \), \( \varphi_M \) sono gli isomorfismi \( N\to K^n \), \( M\to K^m \) nelle basi suddette, e \( f \) è l'applicazione lineare associata \( f = \alpha_{\left\{e_k\right\},\left\{e^\prime_i\right\}}^{-1}(A) \). Ho dato un nome all'isomorfismo \( \Hom_K(N,M)\to\Mat_{m\times n}(K) \), in caso servisse ancora.

Devo ovviamente far vedere che la matrice colonna \( \varphi_M\circ f\circ\varphi_N^{-1}(x) \) è indipendente dalla scelta degli spazi, e poi delle basi. Come faccio?1 E - soprattutto - ha senso 'sta cosa? ha senso dare una definizione in questo modo? Secondo me sì: stiamo dicendo che esiste un unico oggetto tale da soddisfare alle proprietà "questo" e "quello", ecc..., e ponendo \( Ax \) uguale a quella cosa.

Infine come do la definizione del prodotto \( \Mat_{l\times m}(K)\times\Mat_{m\times n}(K)\to\Mat_{l\times n}(K) \) in modo "concettuale"? (un hint va bene, anche se un'idea ce l'ho).

Note

  1. Che si legge: devo davvero considerare due coppie di spazi vettoriali di dimensione \( n \) ed \( m \) rispettivamente, e considerare due basi in ciascuno, e [...]?
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Re: (Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici

Messaggioda solaàl » 02/12/2019, 16:42

Prova così:

a matrix with \(m\) rows and \(n\) columns is a function \([m]\times [n]\to K\), where \([k] = \{1,\dots, k\}\) for every \(k\in \mathbb N\). Since for every vector space \(V\) and every set \(A\) the set of functions \(A\to V\) is a vector space, the set \(M_{n,m}(K)\) of functions \([m]\times [n]\to K\) becomes a vector space in a natural way. Sum and scalar product are defined pointwise: \(aA : (i,j)\mapsto aA_{ij}\) for every \(a\in K\) and \((A+B)(i,j) = A_{ij}+B_{ij}\).

Now for the definition of matrix product.

Let \(m,n,t\ge 1\) integers. Let \(A\in M_{m,n}(K)\) and \(B\in M_{n,t}(K)\) be two matrices; we define the auxiliary map \(\varsigma : K^n \to K : v\mapsto \sum v_i\), and the composition
\[
\odot(A,B) : [m]\times [n] \times [t] \xrightarrow{[m]\times\Delta_{[n]}\times [t]} [m]\times [n]\times [n]\times [t] \xrightarrow{A\times B} K\times K \xrightarrow{\cdot} K\]
that sends \((i,j,k)\in [m]\times [n] \times [t]\) into \(A_{ij}\cdot B_{jk} = A(i,j)\cdot B(j,k)\in K\) (\(\Delta_{[n]} : [n] \to [n]\times [n]\) is the "diagonal" map that duplicates a coordinate, \(\Delta(i)=(i,i)\)); the map \((A\times B)\circ (\text{id}_{[m]}\times \Delta_{[n]}\times \text{id}_{[t]})\) transposes ("uncurries") to a map \[\odot(A,B)^\star : [m]\times [t] \to K^{[n]} = K^n,\] and we can thus define the matrix product of \(A\) and \(B\) as the composition \(\cdot\) (read `dot')
\[ \cdot = \varsigma \circ \odot(A,B)^\star : (i,k)\mapsto \sum_{j\in[n]} A_{ij}B_{jk}. \] Corollary: the vector space of matrices \(M_{n,n}(K)\) becomes a \(K\)-algebra, i.e. a vector space endowed with a bilinear multiplication operation.
Ultima modifica di solaàl il 04/12/2019, 18:59, modificato 1 volta in totale.
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Re: (Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici

Messaggioda kaspar » 02/12/2019, 21:53

Cosa intendi per "concettuale"?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Che modo complicato di dire che la matrice \(A\) a \(m\) righe e \(n\) colonne è tale da far commutare il seguente diagramma
\xymatrix{
N \ar[r]^f \ar[d]_{\varphi_N} & M \ar[d]^{\varphi_M} \\
k^n \ar[r]_{A-} & k^m
}

Il che non è male: il prodotto matriciale diventa questione di funzioni e composizioni. Voglio dire: se \(A \in \mathbf{Mat}_k(m,n)\), \(B \in \mathbf{Mat}_k(n,r)\), \(R\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(r\) e \(g : R \to N\) lineare, allora
\xymatrix{
R \ar[r]^g \ar[d]_{\varphi_R} & N \ar[r]^f \ar[d]_{\varphi_N} & M \ar[d]^{\varphi_M} \\
k^r \ar[r]_{B-} & k^n \ar[r]_{A-} & k^m
}

commuta. Il che mi conduce al fatto che anche
\xymatrix{
R \ar[r]^{fg} \ar[d]_{\varphi_R} & M \ar[d]^{\varphi_M} \\
k^r \ar[r]_{AB-} & k^m
}
commuta.


marco2132k ha scritto:E - soprattutto - ha senso 'sta cosa? ha senso dare una definizione in questo modo? Secondo me sì: stiamo dicendo che esiste un unico oggetto tale da soddisfare alle proprietà "questo" e "quello", ecc..., e ponendo \( Ax \) uguale a quella cosa.

Ma secondo me dipende semplicemente dal fatto che per ogni lineare \(f : k^m \to k^n\) esiste una e una sola matrice \(A\) a \(n\) righe e \(m\) colonne per cui \(f=A-\) (base standard in partenza e in arrivo). Ha senso? Per il seguito in algebra lineare sì, puoi prenderti il lusso di parlare di applicazioni lineari invece di matrici giacché a volte l'aritmetica matriciale è pesante. Ha senso fare così all'inizio? Ecco... :roll: il senso è soggettivo...
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Re: (Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici

Messaggioda marco2132k » 03/12/2019, 13:54

\( \newcommand{\Mat}{\operatorname M} \)Ho un po' di domande, ma posto quando mi leggo con calma quelle cose. Intanto grazie!

Qui
E - soprattutto - ha senso 'sta cosa? ha senso dare una definizione in questo modo? Secondo me sì: stiamo dicendo che esiste un unico oggetto tale da soddisfare alle proprietà "questo" e "quello", ecc..., e ponendo Ax uguale a quella cosa.
domandavo se avesse senso definire un'operazione in quel modo, non se fosse utile nella pratica un approccio del genere. Chi mi dice che la matrice \( Ax \), come l'ho data io, non dipenda proprio dalla scelta degli spazi \( N \) ed \( M \) che compaiono nella definizione? E chi mi dice, poi, che non sia dipendente dalle basi scelte? Certo, posso verificarlo; ma la cosa mi sembrava un po' lunga, e, piuttosto che farmi la verifica, ho chiesto :-D

In ogni caso dovrei far vedere che, date due coppie di spazi \( N \), \( M \) ed \( N^\prime \), \( M^\prime \) di basi, rispettivamente, \( \left\{e_{k}\right\}_{1\leqq k\leqq n} \), \( \left\{e_i^\prime\right\}_{1\leqq i\leqq m} \) e \( \left\{f_{k}\right\}_{1\leqq k\leqq n} \), \( \left\{f_i^\prime\right\}_{1\leqq i\leqq m} \), posti gli isomorfismi \( \varphi_L^{\left\{l_j\right\}}\colon L\to K^{\dim L} \) come prima (dove \( L \) ed \( \left\{l_j\right\} \) sono rispettivamente uno spazio tra quelli considerati, e la base che per lui ho scelto), si ha
\[
\varphi_M^{\left\{e_i^\prime\right\}}\circ\alpha_{\left\{e_k\right\},\left\{e_i^\prime\right\}}^{-1}(A)\circ(\varphi_N^{\left\{e_k\right\}})^{-1}(x) = \varphi_{M^\prime}^{\left\{f_i^\prime\right\}}\circ\alpha_{\left\{f_k\right\},\left\{f_i^\prime\right\}}^{-1}(A)\circ(\varphi_{N^\prime}^{\left\{f_k\right\}})^{-1}(x)
\]
Bisogna scrivere esplicitamente il risultato delle due composizioni. Dati la matrice \( A = \left(a_{ik}\right)_{\substack{1\leqq i\leqq m\\1\leqq k\leqq n}} \) e il vettore colonna \( x = \left(x_k\right)_{1\leqq k\leqq n}^t \) (dove \( {-}^t \) è l'operatore di trasposta), abbiamo
\[
\text{LHS} =
\begin{pmatrix}
\sum_{k = 1}^nx_ka_{1k}\\
\sum_{k = 1}^nx_ka_{2k}\\
\dots\\
\sum_{k = 1}^nx_ka_{mk}\\
\end{pmatrix}
= \text{RHS}
\] e quindi la verifica è completa (credo).

Cosa intendi per "concettuale"?
Quello che ho sentito intendere con questa parola: parlare di operazioni su matrici (tipo questo prodotto, o il determinante, o boh) per mezzo di spazi lineari "astratti".
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Re: (Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici

Messaggioda marco2132k » 04/12/2019, 18:40

\( \newcommand{\Mat}{\operatorname{M}} \)\( \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \)@solaàl Ci sono alcune notazioni che non mi sono chiare. Se ti va di segnalarmi il posto da dove hai preso quell'estratto fai pure (però leggerò con calma, tra un po').

@kaspar Da quello che ho capito dal tuo post, tu definisci direttamente un'immagine della curried function del prodotto di matrici, che io ho definito come \( {-}\cdot{-}\colon\Mat_{m\times n}(K)\times\Mat_{n\times 1}(K)\to\Mat_{m\times 1}(K) \).

L'idea tua forse risolve un problema che ho incontrato definendo il prodotto per matrici moltiplicabili di dimensione qualunque, che tento di spiegare ora.

modo 1. Siano\( A\in\Mat_{m\times n}(K) \) e \( B\in\Mat_{n\times p}(K) \) due matrici. Siano \( P \), \( N \) ed \( M \) tre spazi lineari di basi rispettivamente \( \{ e_i^{\prime\prime}\}_{\leqq i\leqq p} \), \( \{e_k^\prime\}_{1\leqq k\leqq n} \) e \( \{e_m\} \) di \( m \) elementi1. Pongo, dette \( f \) l'applicazione lineare \( \alpha_{\{e_k^\prime\},\{e_m\}}^{-1}(A) \) associata alla matrice \( A \) e \( g \) l'applicazione lineare \( \alpha_{\{e_k^{\prime\prime}\}\{e_k^\prime\}}^{-1}(B) \) associata alla matrice \( B \) (nelle rispettive basi)
\[
(A,B)\mapsto\alpha_{\{e_i^{\prime\prime}\},\{e_m\}}(f\circ g)
\]ossia dico che \( AB \) è esattamente la matrice associata alla composizione delle funzioni lineari associate alle matrici.
Ora dovrei provare l'indipendenza di questa definizione dagli spazi astrati scelti, e ricavare la scrittura esplicita di \( AB \).

Accade che 1) avrei potuto usare la definizione precedente di prodotto \( \Mat_{m\times n}(K)\times\Mat_{n\times 1}(K)\to\Mat_{m\times 1}(K) \) per dare quest'ultima, oppure 2) posso ricavare la precedente definizione da quest'ultima?

Il problema con questa definizione è il seguente. Sia \( f \) un omomorfismo \( N\to M \) (basi come prima), e si ponga \( A = \alpha_{\{e_i^\prime\}\{e_m\}}(f) \) e \( x = \varphi_N^{-1}(l) \), per un vettore \( l\in N \). Volendo far vedere che il prodotto della matrice \( A \) per \( x \) corrisponde al vettore \( \varphi_M(f(x)) \), succede che ad \( x \) venga associata un'applicazione lineare di uno spazio di dimensione \( 1 \) in uno di dimensione \( n \). È una cosa senza senso! vorrebbe dire - perché lo spazio di partenza ha dimensione \( 1 \) e non \( 0 \), e quindi ha almeno due elementi - che \( x \) ha per immagine \( x(e_1) = \sum_{k = 1}^nx_ke_k^\prime \) (il calcolo si esegue scegliendo spazi qualsiasi, quindi posso scegliere quelli che già mi sono dati, con le loro basi). Vorrebbe dire che \( x(18)=18\left(x_1,\dots,x_n\right) \).

In ogni caso ho capito come poter fare una cosa del genere, e smetto di perderci tempo :-D

Note

  1. Uso le notazioni che usa il mio libro.
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Re: (Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici

Messaggioda solaàl » 04/12/2019, 18:54

Ci sono alcune notazioni che non mi sono chiare. Se ti va di segnalarmi il posto da dove hai preso quell'estratto fai pure (però leggerò con calma, tra un po').
Me la sono inventata scrivendo delle note di algebra lineare tempo fa, dimmi cosa non è chiaro :)
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Re: (Ben) definizione "concettuale" del prodotto di matrici

Messaggioda marco2132k » 05/12/2019, 20:14

Ho visto le modifiche, domani leggo :smt023
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