[Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda Indrjo Dedej » 24/11/2019, 23:58

Tanto vale introdurre qualche frammento di linguaggio categoriale in più. Un diagramma è un qualcosa che consta di posizioni e frecce.1 Ovviamente le posizioni vanno riempite col nome di oggetti (che possono essere insiemi, spazi vettoriali, gruppi, spazi topologici, ...) e le frecce stanno a rappresentare morfismi (che a seconda dei casi possono essere funzioni, applicazioni lineari, omomorfismi, omeomorfismi, ...). Ci interessano i triangoli che commutano o commutativi: si tratta di diagrammi a tre posizioni e sei frecce
\xymatrix{
\bullet \ar[r]^f \ar[dr]_h & \bullet \ar[d]^g \\
& \bullet
}
in cui \(h=gf=g \circ f\) (ometterò il simbolo \(\circ\) tanto è chiaro, no?). Ho detto sei frecce, perché ci sarebbero anche le tre identità su ciascun oggetto che non si disegnano, ma ci sono. (Ovviamente la lunghezza delle frecce è ininfluente, è XY-pic ad usare una matrice per rappresentare i diagrammi.)

"Classicamente" il prodotto (cartesiano) di due insiemi \(A\) e \(B\) è l'insieme indicato con \(A \times B\) consistente di coppie ordinate \((x,y)\), dove \(x \in A\) e \(y \in B\). Nella teoria degli insiemi, un insieme è totalmente determinato dagli oggetti di cui consta. Sì... è un bell'insieme, ma potrebbe essere interessante guardarci intorno. Passeggiamo tra gli insiemi e le funioni e vediamo se succede qualcosa. Il prodotto cartesiano di due insiemi \(A \times B\) si relaziona così con gli altri insiemi: \(A \times B\) è accompagnato da due funzioni
\begin{align*}
&\pi_A \colon A \times B \to A,\quad (x,y) \to x \\
&\pi_B \colon A \times B \to B,\quad (x,y) \to y
\end{align*} e per ogni insieme \(C\) e due funzioni \(f : C \to A\) e \(g : C \to B\) esiste un'unica funzione \(h : C \to A \times B\) per cui

\xymatrix{
& C \ar[dl]_f \ar[dr]^g \ar[d]^h & \\
A & A \times B \ar[l]_{\pi_A} \ar[r]^{\pi_B} & B
}

commuta, cioè i due triangoli lì dentro commutano. (Ma che sono 'ste manie di unicità che hanno certe frecce? :lol: )

Esercizio 1. Provare che il prodotto cartesiano definito nella teoria degli insiemi, soddisfa questa proprietà.

Esercizio 2. \(A \times B\) è l'unico ad avere questa proprietà?

Esercizio 3. Dimostrare che \[(A \times B) \times C \cong A \times (B \times C)\,.\] In campo strettamente insiemistico non è \((A \times B) \times C = A \times (B \times C)\), ma qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi quale diffenza sostanziale c'è tra le coppie \(((x,y),z)\) e \((x,(y,z))\)? (Ci sono due modi di risolvere questo esercizio: uno rende tutto ciò molto stupido, l'altro è quello che voglio che voi seguiate :twisted: .)

Esercizio 4. Tanto per dare un altro sguardo al limite: che proprietà può avere il prodotto tra insiemi \(\displaystyle\prod_{i \in I} X_i\)? (Sicuramente intuirete cosa voglio...)

Esercizio 5. (Tanto perché poco fa avevo Algebra Lineare sotto mano, ma si possono fare altri esempi) Dato un spazio vettoriale, la somma diretta di due suoi sottospazi è un prodotto di quei due sottospazi nel senso appena visto (con le "frecce"). Ovviamente non siamo più tra gli insiemi e le funzioni, ma tra spazi vettoriali e applicazioni lineari. Se non vi piace \(\mathbf{Vect}_k\), potete provare altrove... :wink:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
PS. A proposito: si dice "còmmuta" o "commùta"? Non avendolo mai detto in italiano e pensando in inglese su queste cose, non me lo sono mai chiesto.

Note

  1. Se vi piace di più, un grafo orientato.
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda Bremen000 » 29/11/2019, 15:14

Ciao, non mi è chiarissimo il setting; quando dici che

"per ogni $C$, $f : C \to A$, $g: C\to B$ esiste un'unica $h : C \to A \times B$ tale che il diagramma commuta" (*)

, ci sono. Qui è chiaro chi sono $\pi_A$ e $\pi_B$ ma nel momento in cui voglio mettere al posto di $A \times B$ un qualsiasi insieme $Z$ e dire che se $Z$ soddisfa (*) allora $Z = A \times B$ (immagino a meno di isomorfismo di insiemi), come interpreto $\pi_A: Z \to A$ e $\pi_B: Z \to B$ ?
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda Indrjo Dedej » 29/11/2019, 18:12

Bremen000 ha scritto:Qui è chiaro chi sono $\pi_A$ e $\pi_B$ ma nel momento in cui voglio mettere al posto di $A \times B$ un qualsiasi insieme $Z$ e dire che se $Z$ soddisfa (*) allora $Z = A \times B$ (immagino a meno di isomorfismo di insiemi), come interpreto $\pi_A: Z \to A$ e $\pi_B: Z \to B$ ?
Ops, forse ho dato per scontato questa cosa e non dovevo (eppure io stesso ho avuto questa perplessità all'inizio...). Come ho detto nel post in apertura, \(A \times B\) è accompagnato da due funzioni (che sono le classiche proiezioni su \(A\) e \(B\)). Quindi "al posto di \(A \times B\)" non basta mettere \(Z\), perché questo dato da solo non basta: deve avere con sé due funzioni \(Z \to A\) e \(Z \to B\). Cioè: in questa descrizione il prodotto di \(A\) e \(B\) consta di un oggetto e di una coppia di frecce uscenti da questo e puntanti uno ad \(A\) e l'altro a \(B\).
E poi non dire "mettere al posto di...", che è proprio brutto da sentire :wink:.
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda Bremen000 » 29/11/2019, 19:51

Capito, grazie. In settimana penso mi cimenterò.

In ogni caso, non capisco perché "mettere al posto di X un oggetto Y" sia brutto da sentire...
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda _fabricius_ » 03/12/2019, 19:46

Faccio un po' fatica a capire cosa richiedano esattamente gli esercizi. Per esempio quanto al 2. mi verrebbe da dire che ogni insieme biiettivo a $A\times B$ può essere dotato di una struttura di prodotto definendo opportunamente le proiezioni. Quanto al 3. invece trovo ancora più criptico il commento in parentesi.
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda solaàl » 04/12/2019, 17:45

_fabricius_ ha scritto:mi verrebbe da dire che ogni insieme biiettivo a $A\times B$ può essere dotato di una struttura di prodotto definendo opportunamente le proiezioni.
No, questo è falso :) il problema è che la biiezione non è canonica; prendi una biiezione \(f : X\to A\times B\); certo per ogni coppia di funzioni \(Z\to A, Z\to B\) troverai una funzione \(Z\to X\) componendo con l'inversa di $f$, ma niente ti assicura che questa sia unica (e in generale, non lo sarà: ogni insieme abbastanza grande ha almeno due automorfismi distinti...).

La proprietà che stai mancando è quella della "canonicità" o "naturalità": la biiezione tra due oggetti con la stessa proprietà universale non solo esiste, ma è anche unica. Coi quantificatori al posto giusto, la proprietà universale del prodotto è che per ogni insieme \(Z\) e ogni coppia di funzioni \(g_A : Z \to A\) e \(g_B : Z\to B\), esiste un'unica funzione \(Z\to A\times B\) tale che i due triangoli

\xymatrix{
&Z\ar[dr]^{g_B}\ar[dl]_{g_A}\ar@{.>}[d]& \\
A & A\times B\ar[r]_{p_B}\ar[l]^{p_A} & B
}

Se prendi un generico insieme in biiezione con \(A\times B\) l'unicità segnata in rosso smette di essere vera. Quel che però è vero è che se esiste un altro insieme \(A\times'B\) con la stessa proprietà universale, allora esiste un unico isomorfismo \(A\times B\cong A\times' B\); nessuna delle affermazioni nei diversi colori è eliminabile da questo enunciato.

Vediamo perché: supponi che esistano due prodotti \(A\times B\) e \(A\times' B\); chiamo \(g_A : A\times' B\to A, g_B : A\times' B\to B\) le proiezioni con cui \(A\times' B\) è equipaggiato. Allora siccome \(A\times B\) è un prodotto, esiste una unica funzione \(u : A\times' B\to A\times B\) che fitta in

\xymatrix{
&A\times^\prime B\ar[dr]^{g_B}\ar[dl]_{g_A}\ar@{.>}[d]_u& \\
A & A\times B\ar[r]_{p_B}\ar[l]^{p_A} & B
}

Del resto, anche \(A\times' B\) è un prodotto. Allora esiste un'unica \(v : A\times B\to A\times' B\) che fitta in

\xymatrix{
&A\times B\ar[dr]^{p_B}\ar[dl]_{p_A}\ar@{.>}[d]_v & \\
A & A\times^\prime B\ar[r]_{g_B}\ar[l]^{g_A} & B
}

Del resto adesso la composizione \(vu : A\times' B \to A\times' B\) deve fare l'identità, perché l'identità è l'unica funzione che fitta in

\xymatrix{
&A\times^\prime B\ar[dr]^{g_B}\ar[dl]_{g_A}\ar@{.}[d] & \\
A & A\times^\prime B\ar[r]_{g_B}\ar[l]^{g_A} & B
}

Sorte simile capita alla composizione \(uv : A\times B \to A\times B\): è l'unica funzione che fitta in

\xymatrix{
&A\times B\ar[dr]^{p_B}\ar[dl]_{p_A}\ar@{.}[d] & \\
A & A\times B\ar[r]_{p_B}\ar[l]^{p_A} & B
}

Allora però, per l'unicità degli inversi, \(u = v^{-1}\) è una biiezione, e \(A\times B\) è isomorfo a \(A\times' B\). Il punto è, però, che non sono solo isomorfi: sono isomorfi in un unico modo.

Ecco che allora per fare l'esercizio 3 è sufficiente dimostrare che gli insiemi \(A\times (B\times C)\) e \((A\times B)\times C\), formalmente definiti in modo diverso, hanno la stessa proprietà universale: la dimostrazione si farà joinando la proprietà universale di questi due con quelle di \(B\times C\) e \(A\times B\), per ottenere un diagramma del tipo

\xymatrix{
(A\times B)\times C\ar[dd] \ar@/^1pc/[drrr]\\
& A\times (B\times C) \ar[dd]_(.4)\star\ar[r]^\star \ar@{.>}[dl]\ar@{.>}[ul] & B\times C\ar[dd]^\star\ar[r] & C \\
A\times B \ar[dr]\ar@/^1pc/[drr]& \\
& A & B
}

dove tutte le funzioni sono le rispettive proiezioni; adesso le frecce con la stellina danno un'unica funzione \(A\times (B\times C)\to A\times B\) che accoppiata con la composizione \(A\times (B\times C)\to B\times C \to C\) dà un'unica funzione \(u : A\times (B\times C) \to (A\times B)\times C\) (e commuta con le proiezioni sui fattori). Con un ragionamento analogo puoi dimostrare che esiste un'unica \(v : A\times (B\times C) \leftarrow (A\times B)\times C\) (e commuta con le proiezioni sui fattori); la loro composizione deve essere l'identità delle due parentesizzazioni di \(A\times B\times C\), che quindi sono isomorfe.

Ma non sono solo isomorfe: esiste un solo modo in cui lo possono essere se a questo modo chiedi di essere "compatibile con l'ambiente".

Alcune osservazioni: questo modo di dimostrare l'isomorfismo dell'esercizio 3 è completamente cieco a cosa c'è dentro \(A,B,C\), perché non ho mai parlato di "elementi" di nessun tipo. Funziona, quindi, a prescindere dalla libertà di parlare della relazione di elementhood; ci sono ovviamente molte altre biiezioni tra le parentesizzazioni \(A(BC)\) e \((AB)C\): tante quante il gruppo delle funzioni biiettive \(u : A(BC)\cong (AB)C\). Del resto a far commutare il diagramma di sopra è solo una di queste \(u\), quella trovata sopra. Da ultimo, la funzione \(u\) non è una bestia sconosciuto: essendo determinata da cosa fa sui fattori dal comporre con le proiezioni su \(A,B,C\), sappiamo che \(u\) si limita a "spostare le parentesi" da \(((a,b),c)\) a \((a, (b,c))\); la sua inversa \(v\) le sposta nella direzione opposta: \(v(a, (b,c)) = ((a,b),c)\). Con questa espressione esplicita è chiaro che queste due funzioni semitautologiche sono una l'inversa dell'altra; del resto questa loro caratterizzazione (e la loro forma particolarmente semplice) è una conseguenza della proprietà universale che devono avere.

Per quanto riguarda gli altri quesiti:

4. Niente: in generale può essere vuoto :)
5. Presi due spazi vettoriali \(V,W\), il prodotto \(V\times W\) è lo spazio vettoriale che ha come insieme di vettori il prodotto dei due insiemi, dove la somma di vettori si fa sulle singole componenti, e dove la moltiplicazione per uno scalare si fa moltiplicando ciascuna delle componenti: \((v,w)+(v,w')=(v+v', w+w')\) e \(a(v,w)=(av,aw)\). Con questa definizione, ogni coppia di funzioni lineari \(f,g\) definite sui fattori \(V,W\) da un dominio \(Z\) inducono un'unica funzione lineare \(Z\to V\times W\) che agisce sul vettore \(z\) mandandolo in \((fz, gz)\). La stessa dimostrazione di prima fa vedere che \(V\times (W\times U)\cong (V\times W)\times U\).

Ciò che è divertente è che \(V\times W\) ha anche la proprietà duale: ossia, esistono due mappe lineari \(i_V : V\to V\times W\) e \(i_W : W\to V\times W\) tali che per ogni coppia di funzioni lineari \(f_V : V\to Z\) e \(f_W : W\to Z\) ne esista un'unica \(V\times W \to Z\) che fitta in

\xymatrix{
&V\times W\ar@{.>}[d] & \\
V\ar[ur] \ar[r]_{f_V} & Z &\ar[l]^{f_W} \ar[ul]W
}
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda Indrjo Dedej » 04/12/2019, 21:04

Bene, bene... Quello che succede è molto importnante per me e per voi. Sono esercizi(etti) con l'obiettivo di introdurvi aun un nuovo modo di fare e linguaggio. È normale avere dubbi e perplessità, anzi è sano! :smile:
In particolare le risposte di Bremen000 e _fabricius_ sono interessanti. (solàal guasta-feste... :lol: ) Ammetto di aver risposto un po' troppo laconicamente, am adesso mi ritaglio del tempo per spendere qualche parola in più sperando di essere chiaro e comprensibile.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
L'esercizo 1 è così semplice da non fare?
Nel diagramma commutativo del prodotto c'è scritto \begin{align} & f = \pi_A h \\
& g = \pi_B h \end{align}
Un buon candidato al ruolo di \(h\) è la funzione \(C \to A \times B\), \(x \to (f(x),g(x))\). È l'unica funzione a fare così? Sì. Sia \(h'\) un'altra funzione con le proprietà (1) e (2). La funzione \(h'\) manderà un elemento \(x\) in una e una sola coppia \((a,b)\): vediamo com'è fatta. \[f(x) = \pi_A(h'(x)) = \pi_A((a,b)) = a\,.\] Similmente \(g(x) = b\). In tal caso \[h'(x) = (f(x),g(x)) = h(x) \quad\text{per ogni } x \in C\,,\] il che conclude quello che volevamo dimostrare.


Ho detto che in questa descrizione che il prodotto è accompagnato da due funzioni uscenti da questo oggetto. E, lo ammetto, dal mio post iniziale si ha l'impressione che le due funzioni sono proprio quelle. Eccola una sana perplessità.
_fabricius_ ha scritto:Per esempio quanto al 2. mi verrebbe da dire che ogni insieme biiettivo a $A\times B$ può essere dotato di una struttura di prodotto definendo opportunamente le proiezioni.
Ti dico che facendo l'esercizio capisci che non c'è la necessità di fare questo sforzo: quello che conta è unicamente la proprietà in gioco. Ripercorriamo l'esercizio 2. Un prodotto è \(A \times B\) con le funzioni \(\pi_A\) e \(\pi_B\); supponiamo che anche \(P\) con una coppia di funzioni \(p_A \colon P \to A\) e \(p_B \colon P \to B\) sia un prodotto. Ci interessa come esplicitamente sono le due funzioni \(p_A\) e \(p_B\)? No, e lo ripeto: ci interessano le proprietà. Abbiamo infatti che sono uniche le funzioni \(g\) e \(h\) per le quali il seguente diagramma commuta
\xymatrix{
& P \ar[dr]|-{p_B} \ar[dl]|-{p_A} \ar@{.>}[d]|-{h} & \\
A & A \times B \ar[l]|-{\pi_A} \ar[r]|-{\pi_B} \ar@{.>}[d]|-{g} & B \\
& P \ar[ur]|-{p_B} \ar[ul]|-{p_A} & \\
}
(La parte di sopra discende dal fatto che \((A \times B, \pi_A, \pi_B)\) è prodotto, quella inferiore da \((P, p_A, p_B)\) è prodotto.) Quello che succede ora è interessante, guardiamo solo le frecce trattegiate ora. La funzione \(gh\) vanno da \(P\) a \(P\), ma essendoci una sola funzione da \(P\) a \(P\) (per il fatto che \((P, p_A, p_B)\) è prodotto) e essendoci l'identità su \(P\), allora \(gh=\text{id}_P\). Similmente si dimostra che \(hg = \text{id}_{A \times B}\).

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il diagrammma da prender in esame però ora è:
\xymatrix{
& A \times B \ar[dr]|-{\pi_B} \ar[dl]|-{\pi_A} \ar@{.>}[d]|-{g} & \\
A & P \ar[l]|-{p_A} \ar[r]|-{p_B} \ar@{.>}[d]|-{h} & B \\
& A \times B \ar[ur]|-{\pi_B} \ar[ul]|-{\pi_A} & \\
}


Conclusione: esiste una biezione da \(A \times B\) a \(P\), in maniera più concisa \(P \cong A \times B\). È servito "definire opportunamente" le proiezioni? No.

L'esercizo 3 richiede di fare dei "contacci" :wink: , come solàal ha fatto vedere.
Ultima modifica di Indrjo Dedej il 05/12/2019, 16:52, modificato 1 volta in totale.
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda _fabricius_ » 05/12/2019, 13:36

solaàl ha scritto:No, questo è falso :)

Sì, ma nel tuo post mostri proprio che, fissata la biiezione, e definendo opportunamente le proiezioni (componendo ecc.) si ottiene un nuovo oggetto prodotto. Che mi sembra sia precisamente quanto ho detto :) Cioè che ogni mero insieme in biezione col prodotto "standard" può essere reso un prodotto qualora lo si equipaggi con opportune proiezioni (e nel mio esempio la biiezione diventa precisamente l'unico isomorfismo tra i due oggetti prodotto). Anzi mi sembra di aver proprio chiarito che si ottenessero (insiemisticamente) differenti strutture di prodotto esplicitando che le proiezioni dipendono dalla fissata biiezione.

Mi premeva anche sottolineare che non è sempre necessario partire in quarta coi diagrammi per parlare di proprietà universali, limiti, oggetti iniziali e relative dualizzazioni. Trovo un po' paradossale che per parlare di concetti nati per avere un approccio strutturale alla matematica poi è comune affezionarsi alla materialità di un singolo modo di parlarne.

Ma piuttosto mi piacerebbe fare qualche altra osservazione.

In primis, che è solo partendo da un congruo numero di esempi che si cerca di distillare una proprietà universale. Ad esempio, nel thread si è partiti dando per scontata la nozione di coppia ordinata, ma esistono infiniti modi di definire concretamente una coppia ordinata in ZFC a partire dalla mera relazione di appartenenza. A seconda delle definizione si otterranno, procedendo con le costruzioni standard, diversi insiemi prodotto e unione disgiunta (coprodotto in Set), ma è chiaro che in un certo senso cambia poco. Il fatto che soddisfacciano tutte la stessa proprietà universale assicura allora che siano tutte definizioni accettabili, e allo stesso tempo distilla (alcune del)le proprietà che interessano davvero. Ed ecco che allora la nozione di proprietà universale ha il grande pregio di gettare un po' di luce sull'espressione in un certo senso.

Infine rilancio con una domanda. Nel voler definire concretamente esistono criteri per preferire una definizione a un'altra. Ad esempio si può desiderare che la definizione sia la stessa per tutti gli insiemi, oppure imporre altri criterî di semplicità della definizione. Come distillereste e interpretereste in senso categoriale queste proprietà? Funtorialità? Naturalezza? :)
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda solaàl » 05/12/2019, 16:40

_fabricius_ ha scritto:
solaàl ha scritto:No, questo è falso :)

Sì, ma nel tuo post mostri proprio che, fissata la biiezione [...] si ottiene un nuovo oggetto prodotto.
Non è questo quello che volevo dimostrare, ma forse non ho capito cosa volevi sottolineare tu?

Mi premeva anche sottolineare che non è sempre necessario partire in quarta coi diagrammi per parlare di proprietà universali, limiti, oggetti iniziali e relative dualizzazioni. Trovo un po' paradossale che per parlare di concetti nati per avere un approccio strutturale alla matematica poi è comune affezionarsi alla materialità di un singolo modo di parlarne.
Non ho capito: sei convint* che i diagrammi commutativi siano un modo peculiare e congiunturale di rappresentazione, invece che esattamente l'approccio strutturale cercato? Se sì, perché, cosa c'è di più strutturale e di meno ancorato alla materialità?

In primis, che è solo partendo da un congruo numero di esempi che si cerca di distillare una proprietà universale. Ad esempio, nel thread si è partiti dando per scontata la nozione di coppia ordinata, ma esistono infiniti modi di definire concretamente una coppia ordinata in ZFC a partire dalla mera relazione di appartenenza. A seconda delle definizione si otterranno, procedendo con le costruzioni standard, diversi insiemi prodotto e unione disgiunta (coprodotto in Set), ma è chiaro che in un certo senso cambia poco. Il fatto che soddisfacciano tutte la stessa proprietà universale assicura allora che siano tutte definizioni accettabili, e allo stesso tempo distilla (alcune del)le proprietà che interessano davvero. Ed ecco che allora la nozione di proprietà universale ha il grande pregio di gettare un po' di luce sull'espressione in un certo senso.
Sì, sembra anche a me sia così.

Infine rilancio con una domanda. Nel voler definire concretamente esistono criteri per preferire una definizione a un'altra. Ad esempio si può desiderare che la definizione sia la stessa per tutti gli insiemi, oppure imporre altri criterî di semplicità della definizione. Come distillereste e interpretereste in senso categoriale queste proprietà? Funtorialità? Naturalezza? :)
Non ho capito la domanda, qui...
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Re: [Abstract nonsense] Prodotto...

Messaggioda alessio76 » 08/12/2019, 17:35

Non ho letto tutto il thread, ma perché non proporre anche, come ulteriore esercizio, la caratterizzazione dei prodotti (e coprodotti) negli insiemi preordinati? Giusto per svincolarsi un po' dall'ossessione "elementistica", se ancora ce ne fosse bisogno...
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