Sull'(im)possibilità di scrivere una generica sequenza ricorsiva in forma chiusa

Messaggioda sphyr » 02/12/2019, 18:45

Leggendo online (e tra le righe ad Analisi 1) mi è parso di capire che NON è sempre possibile esprimere una sequenza definita per ricorsione in forma standard. E vabbè, ci si crede. In particolare è credibile che molte di queste sequenze NON possano essere scritte come composizione di funzione continue (peggio ancora derivabili).
Ma, mi chiedevo, esiste un teorema che garantisce l'inesistenza di queste forme chiuse? Oppure semplicemente non conosciamo (oppure non esiste) un algoritmo che permette di costruirle?
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Re: Sull'(im)possibilità di scrivere una generica sequenza ricorsiva in forma chiusa

Messaggioda gugo82 » 02/12/2019, 19:15

La domanda non è posta benissimo…

La successione assegnata per ricorrenza $\{(x(n) = x(n-1) + 1/n, text(, per ) n >=2), (x(1) = 1, text( )) :}$ ha forma chiusa $x(n) = sum_(k=1)^n 1/k = int_1^(n+1) 1/([x]) text(d) x = F(n)$ (ove, ovviamente, $[*]$ denota la parte intera ed $F(x) := int_1^(x+1) 1/([t]) text(d) t$ è una funzione continua).

Più che altro, sembri ti interessi l’impossibilità di esprimere successioni in forma chiusa elementare (i.e., per mezzo di funzioni elementari). O sbaglio?
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Re: Sull'(im)possibilità di scrivere una generica sequenza ricorsiva in forma chiusa

Messaggioda sphyr » 02/12/2019, 19:44

gugo82 ha scritto:La domanda non è posta benissimo…
Più che altro, sembri ti interessi l’impossibilità di esprimere successioni in forma chiusa elementare (i.e., per mezzo di funzioni elementari). O sbaglio?


Sì, diciamo, quello sarebbe il nucleo della questione. E a questo punto mi pare ovvio* che la risposta sia no. Immagino che tutto si incasini oltremodo quando la legge ricorsiva non è più lineare ma... Ne so veramente poco!

*però se da qualche parte un teorema esistesse mi piacerebbe leggerne la dimostrazione :snakeman:
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Re: Sull'(im)possibilità di scrivere una generica sequenza ricorsiva in forma chiusa

Messaggioda dissonance » 03/12/2019, 19:57

È grossomodo la stessa cosa che chiedersi se tutte le equazioni differenziali ammettono soluzione esprimibile in termini di funzioni elementari. La risposta è negativa, chiaramente, ma è una cosa poco importante nella matematica moderna. A quanto ne so c'è una branca dell'algebra che studia queste cose, più che altro per l'applicazione ai software di calcolo simbolico, credo.
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Re: Sull'(im)possibilità di scrivere una generica sequenza ricorsiva in forma chiusa

Messaggioda gugo82 » 04/12/2019, 08:15

Se ci sia un teorema simile non so… Se c’è, “ad occhio”, si tratta di una sorta di analogo del Teorema di Liouville sugli integrali indefiniti, il quale è essenzialmente un risultato di Algebra.

In merito alla questione originaria, mi pare il caso di osservare che su questo argomento si vede la differenza sostanziale tra il modo di rapportarsi ai problemi dell’Analisi “antica” (basato sull’uso delle rappresentazioni esplicite delle soluzioni per dedurne le proprietà) e dell’Analisi “moderna” (basato sulla deduzione delle proprietà delle soluzioni a partire dal problema stesso e non dalla rappresentazione esplicita delle soluzioni).
Un tipico esempio di questo modo di fare è lo studio qualitativo delle soluzioni di una EDO, che vedrai più avanti negli studi.
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