esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda ninininja2 » 03/12/2019, 15:28

Sia $f(x)$ una funzione polinomiale di grado $n$ tc. $f(x)≥0 ∀ x∈R$. Si provi che:

Moderatore: Raptorista

Parte del testo sembra essere stata rimossa, ma pare che l'esercizio sia lo stesso di https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8441086
Ultima modifica di ninininja2 il 05/12/2019, 09:12, modificato 1 volta in totale.
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda Quinzio » 03/12/2019, 20:47

Si, e' un bel giochino.

Si potrebbe iniziare osservando che $n \in 2\ZZ$.
Se cosi' non fosse si avrebbe che che \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \] e\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \] o viceversa.

A questo punto si puo' considerare $f(x)$ come prodotto di polinomi di grado pari: \[ f(x) = \prod_i (x^2 + b_i x + c_i) \].
Il fatto che i singoli polinomi siano normalizzati non fa perdere di generalita' in quanto anche $f(x)/k$ deve verificare la tesi.
Per verificare la tesi deve essere altresi' che \[ \forall i\ \forall x:\ (x^2 + b_i x + c_i) \ge 0 \]

Ora si vuole dimostrare l'enunciato per il singolo polinomio quadratico $x^2+bx+c$.

Per avere $x^2+bx+c \ge 0$ deve essere che il discriminante $\Delta = b^2 -4c \le 0$ (1)

Esplicitando la somma delle derivate del polinomio quadratico si ha
\[ \sum_{k=0}^n f^{(k)}(x) = x^2 + bx + c + 2x + b +2 = x^2 + (b+2)x + b+c+2 \]

Per avere \[x^2 + (b+2)x + b+c+2 \ge 0\]
deve verificarsi che
\[ \Delta = (b+2)^2 -4 (b+c+2) \le 0 \]
ovvero
\[ b^2 - 4c -4 < 0 \]

In base alla (1) si verifica immediatamente che il singolo polinomio quadratico verifica l'enunciato.

Adesso, avendo dimostrato il caso $n=2$ si potrebbe procedere per induzione verificando che se
$g(x)$ verifica l'enunciato anche $f(x)g(x)$ con $f(x)$ quadratico verifica l'enunciato.
Ma come ? :?

PS.
Dici che si vede abbastanza bene dal punto di vista grafico, ma non ne sarei cosi' sicuro...
Quinzio
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda dissonance » 04/12/2019, 11:16

Comunque è un buon inizio di sicuro. =D>

Potrebbe essere utile osservare che i polinomi quadratici non negativi hanno la forma
\[
f(x)=(x-a)^2 + b^2.\]
Infatti, essi devono avere due radici complesse coniugate (al limite, due radici reali coincidenti), e quindi
\[
f(x)=(x-a-ib)(x-a+ib).\]
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda Mathita » 05/12/2019, 16:49

Quinzio ha scritto:...
Per verificare la tesi deve essere altresi' che \[ \forall i\ \forall x:\ (x^2 + b_i x + c_i) \ge 0 \]
...


Non riesco a capire perché sia necessario che ciascun fattore del prodotto debba essere non negativo. È stata esclusa la possibilità che due fattori siano a segno variabile e coincidenti? Se sì, in che modo? Grazie!

Se non fosse chiaro cosa intendo: il polinomio $x^2(x^2-1)(x^2-1)$ è chiaramente non negativo, epperò $x^2-1$ è a segno variabile.
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda Mathita » 05/12/2019, 19:57

Ok, il mio esempio non va bene perché $x^2(x^2-1)(x^2-1)$ si può scrivere anche come $x^2(x-1)^2(x+1)^2$ ed effettivamente è il prodotto di tre polinomi di secondo grado non negativi... e penso di aver capito cosa intendesse Quinzio. :oops:

D'altra parte, ho tentato di seguire la strada suggerita, ma non mi porta da nessuna parte :smt012 Ci penso su: l'esercizio di per sé è davvero interessante.
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda Quinzio » 05/12/2019, 19:59

Mathita ha scritto:
Quinzio ha scritto:...
Per verificare la tesi deve essere altresi' che \[ \forall i\ \forall x:\ (x^2 + b_i x + c_i) \ge 0 \]
...


Non riesco a capire perché sia necessario che ciascun fattore del prodotto debba essere non negativo. È stata esclusa la possibilità che due fattori siano a segno variabile e coincidenti? Se sì, in che modo? Grazie!

Se non fosse chiaro cosa intendo: il polinomio $x^2(x^2-1)(x^2-1)$ è chiaramente non negativo, epperò $x^2-1$ è a segno variabile.


Osservazione giustissima.

Direi che pero' in questo caso si possono riarrangiare i polinomi come:
$ (x^2-1)(x^2-1)= (x-1)^2(x+1)^2 $
Quinzio
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda Mathita » 05/12/2019, 20:01

@Quinzio: ti ho battuto sul tempo di esattamente 2 minuti. :D
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda Quinzio » 05/12/2019, 20:01

Siamo arrivati insieme. :-)

Si anzi, mi hai battuto... :-D
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda dissonance » 06/12/2019, 12:16

Mathita ha scritto:Non riesco a capire perché sia necessario che ciascun fattore del prodotto debba essere non negativo. È stata esclusa la possibilità che due fattori siano a segno variabile e coincidenti? Se sì, in che modo? Grazie!

In effetti questa è una ambiguità di fondo della fattorizzazione di polinomi. Per un polinomio \(P\) con due fattori coincidenti, è la stessa cosa dire
\[
P=Q^2\cdot R
\]
oppure
\[
P=(-Q)^2\cdot R.\]
Quindi, si tratta di assumere per convenzione che, in presenza di fattori coincidenti, si sceglie il segno che rende \(Q\ge 0\). Che poi è esattamente quello che si è fatto sopra riordinando i fattori di \((1-x^2)(1-x^2)\).

Ok, ho fatto un po' di chiacchiere. Quanto alla soluzione del problema, si tratta di applicare il principio di induzione usando la formula seguente;
\[
\frac{d^n}{dx^n} \left[ f(x)((x-a)^2+b^2)\right]=f^{(n)}(x)((x-a)^2+b^2) + 2n (x-a)f^{(n-1)}(x) +n(n-1) f^{(n-2)}(x).\]
Qui si può supporre, senza perdita di generalità, che \(a=0\). Ora si tratta di assumere che \(f\) è un polinomio di grado \(n-2\) che verifica la tesi e usare questa formula per provare che anche
\[
f(x)((x-a)^2+b^2)\]
verifica la tesi.
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Re: esercizio confusionario analisi 1

Messaggioda Mathita » 06/12/2019, 22:56

@Dissonance, grazie mille per il suggerimento. In realtà, stavo per gettare la spugna, o meglio, volevo proprio cambiare approccio. Questo fine settimana potrò dedicarmici con maggior costanza... vediamo cosa ne viene fuori.
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