axpgn ha scritto:Intendi la scomposizione in fratti semplici?
Lorenzo_99 ha scritto:Ad ogni fattore dovrò associare uno specifico fratto semplice con dei coefficienti reali. Però questo perchè avviene? Perchè "si può fare"?
Se $f(x)=(P(x))/(Q(x))$ è una funzione razionale con $text(grad)(P)=p<q=text(grad)(Q)$ e se il denominatore $Q(x)$ ha una fattorizzazione del tipo:
$Q(x) = (x - alpha_1)^(h_1)\cdots (x - alpha_m)^(h_m) * (x^2 + beta_1 x + gamma_1)^(k_1) \cdots (x^2 + beta_n x + gamma_n)^(k_n)$
(con $alpha_i,beta_j,gamma_j in RR$, $Delta_j = beta_j^2 - 4 gamma_j < 0$, $h_i,k_j in NN-\{ 0\}$ e $sum_i h_i + sum_j 2k_j = q$) allora esistono $m+2n$ costanti $A_1,\ldots , A_m, B_1,C_1,\ldots ,B_n,C_n$ e $q^**:= q - m - 2n$ costanti $a_0,\ldots , a_{q^** - 1} in RR$ tali che:
(*) $f(x) = A_1/(x - alpha_1) + \cdots + A_m/(x - alpha_m) + (B_1x + C_1)/(x^2 + beta_1 x + gamma_1) +\cdots + (B_n x + C_n)/(x^2 + beta_n x + gamma_n) + (text(d))/(text(d) x)[(a_0+a_1x+\cdots + a_(q^** - 1) x^(q^** - 1))/(Q^**(x))]$
in cui:
$Q^**(x) = (x - alpha_1)^(h_1-1)\cdots (x - alpha_m)^(h_m-1) * (x^2 + beta_1 x + gamma_1)^(k_1-1) \cdots (x^2 + beta_n x + gamma_n)^(k_n-1)$
è il polinomio di grado $q^**$ che si ottiene abbassando di una unità tutti gli esponenti esterni (i.e., gli $h_i$ ed i $k_j$) presenti nella fattorizzazione di $Q$.
gugo82 ha scritto:La funzione $f(x) = 1/((x - 2)(x + 1)^3(x^2 + x + 1)(x^2 + 4)^2)$ ha una scomposizione di Hermite del tipo:
$f(x) = A_1/(x - 2) + A_2/(x + 1) + (B_1 x + C_1)/(x^2 + x + 1) + (B_2 x + C_2)/(x^2 + 4) + (text(d))/(text(d) x) [(a_0+a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^2)/((x + 1)^2 (x^2 + 4))]$
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