Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda jinsang » 03/12/2019, 12:09

Scusate se ho maleducatamente abbandonato il mio post ma ho avuto degli impegni.

Comunque ho capito la definizione di solaàl e mi sembra più elegante di quella che avevo dato io nel primo post, ma continua a sembrarmi equivalente.
Potresti mostrarmi un esempio che distingue il tuo ordine dal mio?
Magari è evidente ma io non sono riuscito a figurarmelo.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda jinsang » 03/12/2019, 12:13

solaàl ha scritto:
arnett ha scritto:Ho scritto un post per dire che continuavo a non capire che cosa volessi dire, ma poi forse ho capito. Tu mi stai dicendo che è vietata l'identificazione di una bandiera $\mathcal{F}:[n]\to\mathsf{S}(V)$ con l'insieme delle sue immagini, cioè che è sbagliato scrivere $\mathcal{F}=\{W_i\}_{i=1, \cdots , n}$? È questo il punto?
No, una bandiera è esattamente l'insieme delle sue immagini, nello stesso senso in cui una funzione \(f : X \to A\) è l'insieme \((a_x)\) dei valori che assume al variare di \(x\in X\).


Io direi che sono lo stesso ordine, e il motivo è ciò che tu dici qui.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda arnett » 03/12/2019, 13:48

Allora sfugge pure a me. Perché credo che $\mathcal{F}_1\subset \mathcal{F}_2$, insiemisticamente parlando, se e solo se $\mathcal{F}_2$ raffina $\mathcal{F}_1$ nel senso che dice solaàl.

Perché se il senso di mettere questa definizione in termini di raffinamento è quello di far sì che i sottospazi si dispongano bene tra di loro, nel senso che ho detto prima, mi pare che pure l'inclusione insiemistica lavori bene in questo senso. Più esplicitamente: se $\mathcal{F}$ è una bandiera e la collezione $\tilde \mathcal{F}$ è ottenuta da $\mathcal{F}$ aggiungendovi elementi di $\mathsf{S}(V)$, allora se $\tilde \mathcal{F}$ è una bandiera, le condizioni di compatibilità sulle dimensioni dei sottospazi sono naturalmente rispettate (cioè: non dovrebbe servire quell'altra definizione a far sì che lo siano).
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 03/12/2019, 13:54

Il fatto è che non capisco cosa significhi formalmente \(\mathcal F_1\subset \mathcal F_2\), se non guardandolo come abuso di notazione per indicare la condizione di raffinamento... notate che un raffinamento banale di \(\mathcal F\) si ottiene ripetendo alcuni degli elementi della catena. In quel caso però \(\mathcal F \) e il suo raffinamento sono lo stesso insieme, perché gli insiemi non sono multiinsiemi.

Questo per dire che una catena non è la collezione degli elementi che la compongono, ma l'ordine totale che essi formano, ossia (appunto) la funzione monotona \(\kappa \to P\) (\(\kappa\) un ordinale a caso) che definiscono.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda arnett » 03/12/2019, 14:07

Con \(\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2\) intendo semplicemente che ogni sottospazio che sta in \(\mathcal{F}_1\) sta pure in \(\mathcal{F}_2\). E non vedo problemi sul resto: se ripeti un sottospazio, l'insieme semplicemente non lo vede. (Se fosse necessario precisarlo, con $\subset$ intendo sempre un ordine largo, altrimenti scrivo, come ho già fatto, \(\subsetneq\), ma non credo di causare particolari disagi notazionali).

Il resto non lo capisco: mi pare che questo:
solaàl ha scritto:Questo per dire che una catena non è la collezione degli elementi che la compongono, ma l'ordine totale che essi formano, ossia (appunto) la funzione monotona \( \kappa \to P \) (\( \kappa \) un ordinale a caso) che definiscono.


confligga con quest'altro:

solaàl ha scritto:No, una bandiera è esattamente l'insieme delle sue immagini, nello stesso senso in cui una funzione \( f : X \to A \) è l'insieme \( (a_x) \) dei valori che assume al variare di \( x\in X \).


Del resto, se il problema è questo, data una collezione di sottospazi che sia una bandiera, esiste un'unica maniera del tutto naturale di ordinarli, e cioè per dimensione crescente.
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Si, ma quante sono?

Messaggioda dissonance » 03/12/2019, 17:00

jinsang ha scritto:Adesso mettiamoci nel contesto che piace a noi
Ovvero $V$ $k$-sp. vett. di dimensione finita con $k=F_q$ campo con $q$ elementi dove $q$ potenza di un primo.
Vogliamo contare le flag massimali.
Contate queste, contare tutte le flag dovrebbe essere abbastanza facile, perché le posso vedere come una scelta di sottospazi in una flag massimale (Sotto a questa cosa ci sta il fatto che ogni flag la posso estendere a flag massimale).

Scusate se mi intrometto, ma vorrei vedere la risposta a questa domanda, è stata data? Forse me la sono persa? (In questo thread, la domanda sopra è l'unica che ammette una risposta concreta sotto forma di un numero, ed è quindi la più importante, stando all'"advice to young mathematicians" di Georges Elencwajg. Mi dispiacerebbe se venisse snobbata).
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda jinsang » 03/12/2019, 23:58

dissonance ha scritto:
jinsang ha scritto:Adesso mettiamoci nel contesto che piace a noi
Ovvero $ V $ $ k $-sp. vett. di dimensione finita con $ k=F_q $ campo con $ q $ elementi dove $ q $ potenza di un primo.
Vogliamo contare le flag massimali.
Contate queste, contare tutte le flag dovrebbe essere abbastanza facile, perché le posso vedere come una scelta di sottospazi in una flag massimale (Sotto a questa cosa ci sta il fatto che ogni flag la posso estendere a flag massimale).

Scusate se mi intrometto, ma vorrei vedere la risposta a questa domanda, è stata data? Forse me la sono persa? (In questo thread, la domanda sopra è l'unica che ammette una risposta concreta sotto forma di un numero, ed è quindi la più importante, stando all'"advice to young mathematicians" di Georges Elencwajg. Mi dispiacerebbe se venisse snobbata).


No infatti hai ragione.

Provo a darla adesso:
Diciamo che $dimV=n$

Considero l'azione
\[Gl(V)\rightarrow \mathfrak{S}(flag(V)) \\
g\mapsto \phi_g:flag(V)\rightarrow flag(V)\\
\phi_g(W_0\subsetneq ... \subsetneq W_k)= g(W_0)\subsetneq ... \subsetneq g(W_k)\]

Si può vedere che la successione delle dimensioni dei sottospazi è un invariante completo per l'azione (nel senso che due bandiere sono nella stessa orbita se e solo se hanno la stessa successione delle dimensioni).
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Da una parte è chiaro che l'azione conserva le dimensioni.
Invece per mostrare che se due bandiere hanno la stessa succ. delle dim. allora stanno nella stessa orbita, possiamo vedere le due badiere come:
\(span\{u_1,...,u_{j_0} \} \subsetneq ... \subsetneq span\{u_1,...,u_{j_k} \} \subseteq span \{ u_1,...,u_n \} =V\)
\(span\{w_1,...,w_{j_0} \} \subsetneq ... \subsetneq span\{w_1,...,w_{j_k}\} \subseteq span\{ w_1,...,w_n \} =V\)
E quindi prendere l'applicazione lineare che manda la prima base nella seconda base.
Cioè $g(u_i)=w_i$.


Dunque le bandiere massimali rappresentano un'orbita (quella che ha successione delle dimensioni $0<1<...<n$).

Per un noto fatto di algebra, dato un generico \(\mathcal{F} \in flag(V)\), abbiamo la bigezione:
\[orb(\mathcal{F}) \leftrightarrow Gl(V)/stab(\mathcal{F})\]
Quindi se troviamo la cardinalità di $Gl(V)$ e di \(stab(\mathcal{F})\) (dove \(\mathcal{F}\) è una bandiera massimale) sappiamo quante sono le bandiere massimali.

Poniamo \(\mathcal{F}=(0 \subsetneq span\{e_1 \} \subsetneq ... \subsetneq span\{e_1,...,e_n\})\)
Vediamo che \(g \in stab(\mathcal{F}) \Leftrightarrow g(e_i) \in span \{e_1,...,e_i\} \ \ \forall i \)
Questo è equivalente a dire che $g$ si rappresenta come matrice triangolare nella base \(\{e_1,...,e_n\}\)

Siamo arrivati perché:
\[ \#Gl(V)=(q^n-1)(q^n-q)...(q^n-q^{n-1})=q^{n(n-1)/2}\prod_{1\leq j \leq n} (q^j-1) \]
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
E' come scegliere una base che è come scegliere un vettore non nullo, poi uno che non è comb. lin. del primo, poi uno che non è comb. lin. dei primi due,...

\[ \#stab(\mathcal{F})=(q-1)^nq^{n(n-1)/2}\]
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
E' come contare le matrici triangolari invertibili, quindi scelgo i coefficienti sulla diagonale non nulli, sopra la diagonale metto cosa mi pare

Perciò
\[ \#orb(\mathcal{F})= \frac{\#Gl(V)}{\#stab(\mathcal{F})} = \frac{\prod_{1\leq j \leq n} (q^j-1)}{(q-1)^n}=\prod_{1\leq j \leq n}\frac{(q^j-1)}{(q-1)}=\prod_{1\leq j \leq n}\sum_{0\leq i < j}q^i \]

Per il caso generale (bandiere non necessariamente massimali) si ragiona come sopra, solo che gli stabilizzatori saranno matrici triangolari a blocchi. Sarà un pochino più difficile contare ma non difficilissimo, basta osservare che i blocchi sulla diagonale sono matrici invertibili (che sappiamo contare) e sopra la diagonale a blocchi posso mettere cosa mi pare.


Ammetto di aver cambiato un po' punto di vista sul problema, i conti che vengono fuori sono gli stessi che mi venivano fuori con l'approccio descritto nel primo post, però l'idea di azione di gruppo mi piace di più e poi secondo me fa anche capire meglio cosa si sta facendo.
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 04/12/2019, 11:23

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
è l'unica che ammette una risposta concreta sotto forma di un numero
Ci sono molte risposte concrete che però non parlano di numeri, è una analogia capziosa quella tra "lo posso calcolare" e "posso far venire fuori un numero" :-) (anche nel senso che ci sono risposte concretissime, ma auguri a far venire fuori un numero...)
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda solaàl » 04/12/2019, 11:36

arnett ha scritto:Mi pare che questo:
solaàl ha scritto:...
confligga con quest'altro:
solaàl ha scritto:...

Ho capito: sì, probabilmente sono lo stesso ordine. Da un lato, rappresentare le catene come funzioni monotona da un ordinale permette di sapere immediatamente qual è la "giusta" definizione per l'ordine da mettere sull'insieme delle catene della stessa lunghezza.

Tu però vuoi una relazione d'ordine su tutte le catene a codominio costante; questo penso si faccia mettendo una relazione d'ordine su \(\bigcup_{[n]\in\omega}\text{Pos}([n],P)\).
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Re: Contare bandiere spazio vettoriale

Messaggioda marco2132k » 04/12/2019, 18:41

jinsang ha scritto:Scusate se ho maleducatamente abbandonato il mio post ma ho avuto degli impegni.
Più che altro ho aperto io la discussione... Però è un po' out of reach per me quindi sto zitto :-D
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