Metodo di Hermite

Messaggioda Lorenzo_99 » 03/12/2019, 23:49

Buonasera, sapreste spiegarmi in cosa consiste e quando si può utilizzare il metodo di Hermite per scomporre le funzioni razionali nel calcolo integrale? L'unica cosa che sono riuscito a capire dalle varie letture (senza comprenderne il motivo) è che se il grado del polinomio a numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore dobbiamo prima effettuare la divisione tra polinomi (Ruffini) e poi applicare Hermite.
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda axpgn » 03/12/2019, 23:57

Intendi la scomposizione in fratti semplici?
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda Lorenzo_99 » 04/12/2019, 00:02

axpgn ha scritto:Intendi la scomposizione in fratti semplici?

Il professore l'ha solo chiamata "Formula di Hermite". Quando sono andato a ricercarla aveva qualcosa di simile alla scomposizione con i fratti semplici ma, non avendola capita, non so con certezza se sono la stessa cosa oppure no.
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda axpgn » 04/12/2019, 00:15

Da come la descrivi sembra proprio la scomposizione in fratti semplici.
In tal caso, si tratta di un metodo per semplificare l'integrazione di una funzione razionale fratta.
Il primo passo consiste nel ridurre il grado del numeratore facendo la divisione tra polinomi; questo genera un polinomio (facilmente integrabile) più il resto (in forma frazionaria) al quale si applica la procedura in questione, la quale creerà delle frazioni che si possono integrare con metodi per così dire "standard".
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda Lorenzo_99 » 04/12/2019, 00:38

Ad ogni fattore dovrò associare uno specifico fratto semplice con dei coefficienti reali. Però questo perchè avviene? Perchè "si può fare"?
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda gugo82 » 04/12/2019, 01:17

Lorenzo_99 ha scritto:Ad ogni fattore dovrò associare uno specifico fratto semplice con dei coefficienti reali. Però questo perchè avviene? Perchè "si può fare"?

Perché si dimostra.

La dimostrazione, seppure semplice (tutto si riduce a scrivere un appropriato sistema lineare di Cramer), è assai pallosa e lunga: per questo motivo di solito viene omessa.
Puoi provare a farla tu, se proprio ci tieni. :wink:

Per chi non la conoscesse, la cosiddetta formula di Hermite è una scomposizione come la (*) del teorema che segue:
Se $f(x)=(P(x))/(Q(x))$ è una funzione razionale con $text(grad)(P)=p<q=text(grad)(Q)$ e se il denominatore $Q(x)$ ha una fattorizzazione del tipo:

$Q(x) = (x - alpha_1)^(h_1)\cdots (x - alpha_m)^(h_m) * (x^2 + beta_1 x + gamma_1)^(k_1) \cdots (x^2 + beta_n x + gamma_n)^(k_n)$

(con $alpha_i,beta_j,gamma_j in RR$, $Delta_j = beta_j^2 - 4 gamma_j < 0$, $h_i,k_j in NN-\{ 0\}$ e $sum_i h_i + sum_j 2k_j = q$) allora esistono $m+2n$ costanti $A_1,\ldots , A_m, B_1,C_1,\ldots ,B_n,C_n$ e $q^**:= q - m - 2n$ costanti $a_0,\ldots , a_{q^** - 1} in RR$ tali che:

(*) $f(x) = A_1/(x - alpha_1) + \cdots + A_m/(x - alpha_m) + (B_1x + C_1)/(x^2 + beta_1 x + gamma_1) +\cdots + (B_n x + C_n)/(x^2 + beta_n x + gamma_n) + (text(d))/(text(d) x)[(a_0+a_1x+\cdots + a_(q^** - 1) x^(q^** - 1))/(Q^**(x))]$

in cui:

$Q^**(x) = (x - alpha_1)^(h_1-1)\cdots (x - alpha_m)^(h_m-1) * (x^2 + beta_1 x + gamma_1)^(k_1-1) \cdots (x^2 + beta_n x + gamma_n)^(k_n-1)$

è il polinomio di grado $q^**$ che si ottiene abbassando di una unità tutti gli esponenti esterni (i.e., gli $h_i$ ed i $k_j$) presenti nella fattorizzazione di $Q$.

cioè, una scomposizione del tipo "fratti semplici + termine che è una derivata di una funzione razionale".

Ad esempio:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La funzione $f(x) = 1/((x - 2)(x + 1)^3(x^2 + x + 1)(x^2 + 4)^2)$ ha una scomposizione di Hermite del tipo:

$f(x) = A_1/(x - 2) + A_2/(x + 1) + (B_1 x + C_1)/(x^2 + x + 1) + (B_2 x + C_2)/(x^2 + 4) + (text(d))/(text(d) x) [(a_0+a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^2)/((x + 1)^2 (x^2 + 4))]$

con i coefficienti incogniti che si calcolano sviluppando il secondo membro, prendendo il denominatore comune ed uguagliando i coefficienti della funzione razionale risultante a quelli della funzione $f$ al primo membro.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda Lorenzo_99 » 04/12/2019, 21:11

gugo82 ha scritto:La funzione $f(x) = 1/((x - 2)(x + 1)^3(x^2 + x + 1)(x^2 + 4)^2)$ ha una scomposizione di Hermite del tipo:

$f(x) = A_1/(x - 2) + A_2/(x + 1) + (B_1 x + C_1)/(x^2 + x + 1) + (B_2 x + C_2)/(x^2 + 4) + (text(d))/(text(d) x) [(a_0+a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^2)/((x + 1)^2 (x^2 + 4))]$

In realtà da quello che ho capito nella sua formula la derivata non c'era. In più i fattori irriducibili elevati a una potenza $n$ (come $ (x+1)^3$ con $n=3$) andavano riscritti tante volte quanto era il grado di elevamento con un parametro $k$ (a cui elevare il fattore) che incrementava ogni volta fino ad $n$. Ottenendo quindi:
$A_1/(x - 2) + A_2/(x + 1) + A_3/(x + 1)^2 + A_4/(x + 1)^3 + (B_1 x + C_1)/(x^2 + x + 1) + (B_2 x + C_2)/(x^2 + 4)+ (B_3 x + C_3)/(x^2 + 4)^2$
Questa scomposizione sarebbe sbagliata?
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda gugo82 » 05/12/2019, 00:14

No, quella scomposizione è giusta… Ma non è la formula di Hermite, quanto piuttosto una scomposizione in fratti semplici standard.

E la dimostrazione è: fai i conti.
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda Lorenzo_99 » 05/12/2019, 11:51

Allora probabilmente ho sbagliato a copiare o ho confuso le cose. In ogni caso c'è qualche vantaggio nell'utilizzare la scomposizione a fratti semplici piuttosto che la formula di Hermite o viceversa?
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Re: Metodo di Hermite

Messaggioda gugo82 » 05/12/2019, 19:01

Dipende.

La barcata di contazzi è la stessa, quindi sotto quel punto di vista pari sono.
Se però devi integrare, la formula di Hermite è conveniente perché ti dà da integrare dei fratti, che vanno con logaritmi ed arcotangenti, ed un pezzo che è una derivata, quindi si integra senza alcun passaggio… Invece, usualmente, integrare roba come $1/(x^2 + 4)^n$ è una seccatura (si fa per parti e diventa complicato quando l’esponente è “grande”).
Se, d’altra parte, ti serve evidenziare le potenze negative dei fattori che compongono il denominatore (il che si usa, ad esempio, in certe questioni di Analisi Complessa), la scomposizione in fratti è ciò che fa al caso tuo… Mentre la formula di Hermite non serve a nulla.
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