Estensione Teorema della divergenza

Messaggioda papemax89 » 04/11/2019, 19:54

Salve a tutti,
avrei il seguente problema. L'usuale teorema della divergenza può essere enunciato (ad esempio dal Lanconelli) nel seguente modo:
Teorema della divergenza
Sia $\Omega$ un aperto di $\mathbb{R}^N$, $N \geq 2$ regolare ovvero tale che tale:
(i) $\Omega$ è limitato
(ii) $\text{int}(\bar{\Omega})=\Omega$
(iii) $\partial \Omega$ è una varietà $N-1$-dimensionale di classe $C^k$, $k \geq 1$.
Se $F \in C^1(\bar{\Omega},\mathbb{R}^N)$, allora vale:
$$\int_{\Omega} div (F) dH_N= \int_{\partial \Omega} <F,\nu> dH_N $$
dove $\nu$ Indica la normale esterna a $\Omega$ nei punti di $\partial \Omega$.

Ora sia $f \in C^1 (R^N,R)$ e sia $c \in \mathbb{R}$ fissato. Se si considera l'insieme di livello:
$$f^{-1}(c)=\left \{ x \in \mathbb{R}^N: f(x)=c \right \}$$
e se:
\begin{equation}\nabla f (x) \neq 0 \; \; \forall x \in f^{-1}(c) \label{eq:1} \end{equation}
allora, come spiega il Lanconelli stesso, $f^{-1}(c)$ è una varietà $N$-dimensionale di classe $C^1$. Se dunque considero l'aperto:
$$\Omega:=\left \{ x \in \mathbb{R}^N: f(x) < c \right \}$$
e supponendo $\Omega$ limitato, poichè $\partial \Omega=f^{-1}(c)$, allora $\Omega$ è un aperto regolare secondo la definizione precedente e posso applicare il Teorema della divergenza citato sopra.

Il mio problema è il seguente: supponiamo ora che la funzione $f$ soddisfi tutte le ipotesi dell'esempio precedente tranne il fatto che ora la condizione \eqref{eq:1} è verificata soltanto quasi ovunque:
$$\exists M \subset f^{-1}(c), \: H_N(M)=0 \: \: : \nabla f (x) \neq 0 \; \; \forall x \not \in M $$
In altre parole ancora, i punti in $f^{-1}(c)$, hanno gradiente diverso da zero, tranne in al più un insieme di misura nulla.
Ora penso di poter affermare che $f^{-1}(c) \setminus M$ sia ancora una varietà $N$-dimensionale di classe $C^1$ ma non lo è tutto $f^{-1}(c)$.
Se considero ancora $\Omega= \{ x \in \mathbb{R}^N: f(x) < c \}$, sempre supposto limitato, esiste secondo voi un modo per poter applicare il Teorema della divergenza a tale insieme?
Ho cercato su internet, ho visto che esistono varie generalizzazioni del Teorema della divergenza ma nessuna di queste, almeno di quelle trovate, è applicabile.
Scusate per la lunghezza della domanda, e grazie in anticipo.
papemax89
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Re: Estensione Teorema della divergenza

Messaggioda dissonance » 04/12/2019, 00:43

Prova a vedere su Klainerman, pagina 73:

https://web.math.princeton.edu/~seri/ho ... is2011.pdf
dissonance
Cannot live without
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