da Alino » 04/12/2019, 11:09
Ciao! Secondo me l'idea che hai in mente è corretta: non so che definizione tu abbia di superficie in $RR^3$, però intuitivamente una superficie è qualcosa che, localmente, è omeomorfa ad un aperto del piano $RR^2$. Questo vuol dire che se prendi un punto sulla superficie, hai un suo intorno che in un certo senso assomiglia abbastanza al piano. Perciò, poiché per descrivere dove si trova un punto nel piano ti servono due coordinate, così per descrivere un punto sulla superficie te ne servono sempre due. Per immaginare come lavorano i parametri $(u,v)$ puoi pensare di fissarne uno, che chiami $\bar{u}$: a questo punto $r(\bar{u},v)$ descriverà una curva sulla superficie, dato che ora è solo il secondo parametro a variare. Ora fissi un nuovo parametro $\bar{\bar{u}}$ e costruisci una nuova curva, e così via. Allo stesso modo puoi fissare, invece che il primo, il secondo parametro e costruirai delle altre curve della superficie. Ora immagina cosa succede se li facciamo variare contemporaneamente.
Per esempio pensiamo alla sfera di raggio unitario $S^2$, che è una superficie: come facciamo a descrivere dove si trovano i suoi punti? Poiché il raggio è fissato, scegliamo di usare i due angoli che descrivono longitudine e latitudine. Questi sono esattamente i due parametri di cui si parla sopra.
Una possibile parametrizzazione locale è quindi:
$r(u,v)=(cos(u)sin(v), sin(u)sin(v), cos(v))$ con $0<u<2\pi$ e $0<v<\pi$.
Se fissiamo $\bar{u}=\pi$ abbiamo $r(\pi,v)=(cos(\pi)sin(v), sin(\pi)sin(v), cos(v))=(-sin(v),0, cos(v))$.
Questa è una curva che descrive un meridiano, se avessimo fissato il secondo parametro avremmo ottenuto un parallelo. Allora usandoli contemporaneamente possiamo pensare di descrivere una sfera.