Circonferenze impossibili

[spugna]

Dimostrare che non esistono, nel piano euclideo $RR^2$, cinque circonferenze $C_1,C_2,C_3,C_4,C_5$ che soddisfino le seguenti condizioni:

1) $\forall \ 1<=i<j<=5$, $C_i$ e $C_j$ si intersecano in due punti distinti, ciascuno dei quali non appartiene a nessuna delle altre tre circonferenze;
2) $\forall \ 1<=i<j<=4$, una delle quattro componenti connesse di $RR^2 \setminus (C_i \cup C_j)$, che chiameremo $R_{ij}$, non ha punti in comune con nessuna delle altre tre circonferenze;
3) $\forall \ 1<=i<j<=4$, $R_{ij}$ giace all'interno di $C_5$ se e solo se $j=i+1$.

[Quinzio]

Ciao spugna, la dimostrazione non ce l'ho, ma mi sono scervellato un po' su
questo problema.
Non e' neanche facile trovare una disposizione delle 5 circonferenze che si avvicini il piu' possibile alle richieste,
che sono pero' impossibili da soddisfare.
Nel disegno sotto non mi e' neanche chiaro quale richiesta viene violata.
Comunque, qual e' in generale la configurazione che piu' si avvicina alle richieste ?

PS. Dovrebbe essere abbastanza chiaro nel disegno quali sono le aree $R_{ij}$

[spugna]

Nel disegno sotto non mi e' neanche chiaro quale richiesta viene violata.

Le $R_{ij}$ in totale sono sei, e per soddisfare la terza richiesta è necessario che l'interno di $C_5$ ne contenga esattamente tre, mentre la $C_5$ del tuo disegno (che se non erro è quella centrata in $G$) ne contiene solo una.

Comunque, qual e' in generale la configurazione che piu' si avvicina alle richieste?

Mi vengono in mente due risposte che suggeriscono due dimostrazioni diverse (anche se nella seconda c'è un passaggio che non saprei come formalizzare): le lascio come testo nascosto perché sono a tutti gli effetti degli hint...

A)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sempre basandomi sul tuo disegno direi che hai capito come devono essere disposte $C_1$, $C_2$, $C_3$ e $C_4$, cioè in modo che siano a due a due "quasi tangenti". Ora puoi accorgerti che è possibile disegnare $C_5$ senza imporre che sia una circonferenza (cioè assumendo che possa essere una qualsiasi curva semplice chiusa che interseca le altre $C_i$ trasversalmente), dopodiché ragionare per assurdo...

B)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Moralmente, disegnare $C_5$ sarebbe più facile se le altre quattro circonferenze fossero a due a due tangenti: in tal caso le $R_{ij}$ si ridurrebbero a dei punti $P_{ij}$, tre dei quali dovrebbero trovarsi all'interno di $C_5$ per soddisfare la (3), ma anche questo sarebbe impossibile (perché?).