esercizio centro di massa

Messaggioda Brufus » 05/12/2019, 21:21

Abbiamo un sistema costituito da due masse $m_1$ ed $m_2$ appese ad un filo inestensibile e privo di massa per mezzo di una carrucola anche essa priva di massa.Le masse si trovano alla stessa altezza e assumiamo $m_1>m_2$. Dobbiamo calcolare la reazione della carrucola.

L'idea è quella di usare la prima equazione cardinale della meccanica
$ \sum_{i=1}^n \vec{ f_i^e}=M\vec{a_{CM}} $

Il problema è che non ho ben capito come applicare tale equazione.

Il modo di risolvere è' il seguente ma non ho capito la giustificazione fisica delle operazioni.

per la prima massa scrivo $m_1g-T=m_1a_1$ e per la seconda $m_2g-T=m_2a_2$ dove $T$ indica la tensione nel filo. inoltre vale $a_1=-a_2$ da cui la seconda espressione diviene $m_2g-T=-m_2a_1$ svolgendo il sistema ricaviamo il valore di $a_1$ e $T$.
Fin qui nessun problema.Ora procediamo al calcolo di $a_{CM}$.Sembrerebbe doveroso usare l'equazione cardinale ed è ciò che farò.
$(m_1g-T)+(m_2g-T)=(m_1+m_2)a_{CM}$ da questo calcolo ricavo $a_{CM}$.

Infine utilizzando di nuovo(sembrerebbe) l'equazione cardinale si trova il valore $F$ della reazione
$m_1g+m_2g-F=(m_1+m_2)a_{CM}$

Quindi abbiamo usato due volte di seguito lo stesso principio e di volta in volta le forze esterne hanno cambiato nome? Proprio non capisco.
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Re: esercizio centro di massa

Messaggioda mgrau » 06/12/2019, 00:10

Ma la reazione della carrucola non è semplicemente $2T$? Dopo tutto la carrucole è connessa (oltre che al soffitto) solo alla fune , che tira con forza $T$ da entrambe le parti.
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Re: esercizio centro di massa

Messaggioda Brufus » 06/12/2019, 00:33

Il conto che ho fatto l'ho visto dalla correzione.A occhio ti direi che il tuo argomento andrebbe bene in un caso statico ma questo é un sistema dinamico.Potrebbe essere così?
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Re: esercizio centro di massa

Messaggioda mgrau » 06/12/2019, 10:21

Brufus ha scritto:A occhio ti direi che il tuo argomento andrebbe bene in un caso statico ma questo é un sistema dinamico.

Nel caso statico (masse uguali) la reazione della carrucola è il peso delle due masse, e la tensione è la metà.
Se le masse sono diverse, queste si muovono, la tensione è qualcosa fra i due pesi (mi pare sia $2g*(m_1m_2)/(m_1 + m_2)$) ma la carrucola comunque risente solo delle due tensioni
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Re: esercizio centro di massa

Messaggioda Brufus » 06/12/2019, 12:19

A lui viene $F=T $.in ogni caso mi sapresti spiegare i passaggi che ha fatto?Tu come calcoleresti $a_{CM} $?
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Re: esercizio centro di massa

Messaggioda mgrau » 06/12/2019, 20:57

Brufus ha scritto:A lui viene $F=T $.in ogni caso mi sapresti spiegare i passaggi che ha fatto?Tu come calcoleresti $a_{CM} $?

Che la reazione della carrucola sia $T$ è evidentemente sbagliato, dato che nel caso limite di masse uguali è $2T$. Quindi capire i passaggi che ha fatto mi pare superfluo.
L'accelerazione del CM direi che è $(M_1 - M_2)a_1$ dove $M_1$ è la massa maggiore e $a_1 = -a_2$.
EDIT: Manca una divisione per $M_1 + M_2$
Come si usa nei libri, la dimostrazione è lasciata per esercizio al lettore
Ultima modifica di mgrau il 06/12/2019, 22:11, modificato 1 volta in totale.
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Re: esercizio centro di massa

Messaggioda Brufus » 06/12/2019, 22:01

non so se ho scritto cose sbagliate ma ti riepilogo i dati a scanso di equivoci.

$m_1=2 kg, m_2=4 kg$

si chiede di calcolare accelerazione del centro di massa e la forza esercitata dal piolo (filo più masse).

$m_2a_2=-m_2g+T$
$m_1a_1=-m_1g+T$

il filo è inestensibile quindi $a_1=-a_2$ da cui

$m_2a_2=-m_2g+T$
$-m_1a_2=-m_1g+T$

sottraendo troviamo $(m_1-m_2)g=(m_2+m_1)a_2$ ed infine $a_2=g \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}=-3.3 \frac{m}{s^2}$

ora calcola l'accelerazione del centro di massa delle due masse

$a_{CM}=\frac{m_1a_1+m_2a_2}{m_1+m_2}=-1\frac{m}{s^2}$

ora applicando l'equazione cardinale della meccanica si trova che
$F-m_1g-m_2g=(m_1+m_2)a_{CM}$ ed $F=52N$.
Quindi tu avevi perfettamente ragione ed io ho scritto una sciocchezza .
Credo di aver capito il grave errore logico che commettevo.Infatti noi sappiamo che

$\sum_{i=1}^n m_i\vec a_i=M\vec a_{CM}$
ed inoltre vale l'equazione cardinale della meccanica
$\sum_{i=1}^n \vec{ f_i^{ext}}=M\vec a_{CM}$
Pertanto uso proprio la prima formula per ricavare $a_{CM}$ e la seconda per trovare $F$ poichè la tensione $T$ scambiata tra la fune e le masse è una forza interna. Mi sento un semi-idiota ma alla fine ho risolto.grazie.
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