Estremi relativi (Esercizio analisi II)

[ValeForce]

Salve a tutti!
Mi servirebbe un aiuto col seguente esercizio:

Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo della seguente funzione reale di due variabili reali:
$$f(x,y)=(x^2−|xy|)(x^2−y^2)$$

Quello che ho fatto io intanto è dividere la ricerca dei punti stazionari di $f$ nei casi $xy>0, xy<0$ e poi studiare a parte i punti del cambiamento di legge $\overline{x}\cdot \overline{y}=0$.
Ho problemi sin dall'inizio, perché appena mi metto alla ricerca di punti stazionari nel primo caso $xy>0$, ottengo un sistema di equazioni antipatico:
\[
\begin{aligned}
\begin{cases} f_x(x,y)=0 \\ f_y(x,y)=0 \end{cases}
\end{aligned}
\quad \implies \quad
\begin{aligned}
\begin{cases}4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\ -2x^2y-x^3+3xy^2=0 \end{cases}

\end{aligned}
\]
L'unica cosa che son riuscito a fare è raccogliere la $x$ nella seconda equazione e procedere con la legge di annullamento del prodotto e, da una parte ottengo la soluzione $(0,0)$ che devo scartare in quanto per ora sono nel caso $xy>0$, ma dall'altra parte rimane un sistema comunque antipatico...
\begin{cases} 4x^3-2xy^2-3x^2y+y^3=0 \\x^2+2xy-3y^2=0\end{cases}
In un tentativo disperato ho provato ad esplicitare la $x$ dalla seconda equazione, ma non credo sia la cosa giusta da fare.
Ho sbagliato in partenza l'approccio all'esercizio? Se no... come affronto questo sistema?

[pilloeffe]

Ciao ValeForce,

Ho sbagliato in partenza l'approccio all'esercizio?

Direi di sì...
Cambierei approccio e farei qualche ragionamento preliminare. Innanzitutto la funzione proposta

$ z = f(x, y) = (x^2−|xy|)(x^2−y^2) $

ha dominio $D = \RR^2 $. Poi si vede subito che quella proposta è una funzione pari:

$ f( - x,y) = f(x, - y) = f(-x,-y) = f(x, y) $

Se $x y >= 0 $ possiamo togliere il modulo e sicuramente $x $ e $y $ sono concordi ossia o entrambi positivi o nulli (cioè siamo nel primo quadrante) o entrambi negativi o nulli (e quindi siamo nel terzo quadrante) e comunque si ha:

$f(x,y) = x(x - y)(x^2 - y^2) = x(x - y)^2 (x + y) >= 0 $

Se $x y < 0 $ possiamo togliere il modulo e cambiare il segno e sicuramente $x $ e $y $ sono discordi ossia o siamo nel secondo o nel quarto quadrante e comunque si ha:

$f(x,y) = (x^2 + xy )(x^2−y^2) = x(x + y)^2 (x - y) >= 0 $

Pertanto il codominio della funzione proposta è $C = [0, +\infty) $ ed essa ha minimo che vale 0 per $x = 0 $, per $y = x $ e per $y = - x $

[Mathita]

Complimenti pilloeffe! Davvero una soluzione brillante!

Se non si vuole cambiare approccio, si può completare il quadrato in $x^2+2xy-3y^2=0$, aggiungendo e sottraendo $y^2$

$(x+y)^2-4y^2=0\implies (x-y)(x+3y)=0$

Da qui è facile continuare.

[ValeForce]

Ma pilloeffe ha polverizzato il mio povero esercizio...

Grazie mille ad entrambi per le risposte!

[ValeForce]

Però riflettendo meglio sulla soluzione di pilloeffe, che cosa mi garantisce che non ci siano punti di massimo relativo? O magari altri punti di minimo relativo?

[Quinzio]

Però riflettendo meglio sulla soluzione di pilloeffe, che cosa mi garantisce che non ci siano punti di massimo relativo? O magari altri punti di minimo relativo?

In effetti il dubbio rimane.
La soluzione proposta da piloeffe alla fine e' corretta, ma rimane da dimostrare rigorosamente.
La funzione e' abbastanza facile da capire intuitivamente e questo aiuta molto, ma non da la soluzione certa.

Quello che propongo e' il solito cambio di variabili o rotazione degli assi secondo
$u = x+y$
$v = x-y$

A causa del modulo bisogna fare lo studio di ogni quadrante separatamente e quindi
fare lo studio delle rette di separazione tra i quadranti.

Prendendo ad es il primo quadrante abbiamo
$ z = f(x, y) = (x^2−xy)(x^2−y^2) = x (x+y)(x-y)^2 $
che nelle nuove coordinate diventa
$z = f(u, v) = (u-v)uv^2 = u^2v^2-uv^3$.
Tralascio i coefficienti che non influiscono sulla ricerca degli estremi.
A questo punto trovare il gradiente e' facile
$\nabla f(u, v) = (2uv^2-v^3, 2u^2v-3uv^2) = (v^2(2u-v),uv(2u-3v))$
Si verifica che il gradiente e' nullo per $v=0$

A questo punto bisognerebbe fare lo studio della matrice hessiana, che pero' non da risultati utili.
Allora bisogna studiare la derivata direzionale in un punto $(u, 0)$, che e' sempre positiva.
La dimostrazione rimane da completare sugli altri quadranti e infine studiano le rette $x=0$ e $y = 0$