Ogni \(A\) matrice \(2 \times 2\) tale che \(A^2+A+I=0\) è diagonalizzabile su \(\mathbb R\)?

[kaspar]

Ciao
Ho il seguente vero/falso:

Ogni \(A \in \mathbf{Mat}_\mathbb{R}(2, 2)\) tale che \(A^2+A+I=0\) è diagonalizzabile su \(\mathbb R\).

Dico che è falsa. Mi costruisco una matrice \(A\) del tipo \(2 \times 2\) che abbia come polinomio caratteristico \(x^2+x+1\) per due ragioni:
1. per il teorema di Cayley-Hamilton \(A^2+A+I=O\)
2. ma \(x^2+x+1\) non ha zeri in \(\mathbb R\), e quindi \(A\) non è diagonalizzabile lì dentro.

Visto che il coefficiente del termine di secondo grado è l'opposto della traccia ed è \(1\), vado a cercare per esempio tra le matrici
\[\begin{pmatrix} -2 & \alpha \\ \beta & 1\end{pmatrix}\] Queste hanno polinomi caratteristici
\[p(x) = \det(A-xI)=(-2-x)(1-x)-\alpha\beta=x^2+x-2-\alpha\beta.\] Scelgo quindi \(\alpha\beta=-3\): le matrici
\[A_\gamma := \begin{pmatrix} -2 & \gamma \\ -\frac 3 \gamma & 1\end{pmatrix}\]
con \(\gamma \in \mathbb R\) e \(\gamma \ne 0\) sono tali che \(A_\gamma^2+A_\gamma+I=0\), ma non sono diagonalizzabili. Fine

Può andare? E soprattutto, esiste un modo più rapido di trovare un controesempio in casi simili? Ci sono vero/falso con matrici \(4 \times 4\) e questo approccio non credo sia il più rapido (per un esercizio che vale un punto allo scritto poi...)

Un'altra cosa: qualche mio compagno ha confutato l'affermazione dicendo

Se \(A^2+A+I=O\), allora il polinomio caratteristico di \(A\) è \(t^2+t+1\).

cioè l'inverso del terorema di Cayley-Hamilton , ma è vero ciò?

[Martino]

qualche mio compagno ha confutato l'affermazione dicendo

Se \(A^2+A+I=O\), allora il polinomio caratteristico di \(A\) è \(t^2+t+1\).

cioè l'inverso del terorema di Cayley-Hamilton , ma è vero ciò?

Sì, ma ovviamente va dimostrato. Se $P(X)$ è il polinomio caratteristico di $A$ allora esiste $Q(X)$ tale che $P(X)-(X^2+X+1)Q(X)=aX+b$ con $a,b in RR$ (divisione con resto) quindi sostituendo $X=A$ otteniamo $aA+bI=0$.

Se $a=0$ allora $b=0$ e ricordando che $P(X)$ ha grado 2 segue che $P(X)=X^2+X+1$.

Se $a ne 0$ segue che $A=cI$ dove $c=-b/a$ cioè $A$ è scalare. Questo implicherebbe che $c^2+c+1=0$ assurdo perché $c in RR$.

Prova a domandarti per quali polinomi vale questo "inverso" di Cayley Hamilton.

[kaspar]

[...] quindi sostituendo $X=A$ otteniamo $aA+bI=0$.

Sempre per il teorema di Cayley-Hamilton, giusto? Una volta applicato a \(P(X)\) e un altra volta al polinomio \(X^2+X+I\). Cioè è come se stessi dicendo: «ho due polinomi: uno supponiamo sia quello caratteristico, poi l'altro è quello per cui \(A^2+A+I=O\)», giusto?

Se $a=0$ allora $b=0$ e ricordando che $P(X)$ ha grado 2 segue che $P(X)=X^2+X+1$.

Se $a ne 0$ segue che $A=cI$ dove $c=-b/a$ cioè $A$ è scalare [ ]. Questo implicherebbe che $c^2+c+1=0$ assurdo perché $c in RR$.

Quindi necessariamente \(a=b=0\) e i due polinomi coincidono. Am I right again?

Prova a domandarti per quali polinomi vale questo "inverso" di Cayley Hamilton.

Ci devo pensare. Mi rivedo il tutto più tardi. (Non mi spoilerare la risposta, eh... )

[Martino]

[...] quindi sostituendo $X=A$ otteniamo $aA+bI=0$.

Sempre per il teorema di Cayley-Hamilton, giusto? Una volta applicato a \(P(X)\) e un altra volta al polinomio \(X^2+X+I\). Cioè è come se stessi dicendo: «ho due polinomi: uno supponiamo sia quello caratteristico, poi l'altro è quello per cui \(A^2+A+I=O\)», giusto?

Sì certo.

Quindi necessariamente \(a=b=0\) e i due polinomi coincidono. Am I right again?

Sì certo.

Una matrice è detta scalare se è del tipo $cI$ dove $c$ è uno scalare. Cioè una matrice è detta scalare se è diagonale e tutti i termini diagonali sono uguali.

[kaspar]

Uh, a momenti me ne dimenticavo.

Prova a domandarti per quali polinomi vale questo "inverso" di Cayley Hamilton.

Nelle tue argomentazioni mi pare essenziale che \(P(X) \in \mathbb R[X]\), o no?

Non sapevo che il termine "scalare" venisse usato anche per le matrici, mi è sfuggita questa cosa.

[Martino]

Nelle tue argomentazioni mi pare essenziale che \(P(X) \in \mathbb R[X]\), o no?

Sì